3.1 节点导纳矩阵

电力网络的运行状态可用节点方程或回路方程来描述。节点方程以母线电压作为待求量，母线电压能唯一地确定网络的运行状态。知道了母线电压，就很容易算出母线功率、支路功率和电流。无论是潮流计算还是短路计算，节点方程的求解结果都极便于应用。电力系统计算中一般都采用节点方程。本课程中，我们也只介绍节点方程及其应用。

3.1.1 节点方程

在图3-1a所示的简单电力系统中，若略去变压器的励磁功率和线路电容，负荷用阻抗表示，便可得到一个有5个节点（包括零电位点）和7条支路的等效网络，如图3-1b所示。将接于节点1和4的电势源和阻抗的串联组合变换成等效的电流源和导纳的并联组合，便得到图3-1c所示的等效网络，其中 和 分别称为节点1和4的注入电流源。

以令电位点作为计算节点电压的参考点，根据基尔霍夫电流定律，可以写出4个独立节点的电流平衡方程为

上述方程组经过整理可以写成

式中， Y ₁₁ = y ₁₀ + y ₁₂ ； Y ₂₂ = y ₂₀ + y ₂₃ + y ₂₄ + y ₁₂ ； Y ₃₃ = y ₂₃ + y ₃₄ ； Y ₄₄ = y ₄₀ + y ₂₄ + y ₃₄ ； Y ₁₂ = Y ₂₁ = -y ₁₂ ； Y ₂₃ = Y ₃₂ = -y ₂₃ ； Y ₂₄ = Y ₄₂ = -y ₂₄ ； Y ₃₄ = Y ₄₃ = -y ₃₄ 。

一般地，对于有 n 个独立节点的网络，可以列写 n 个节点方程

也可以用矩阵写成

或缩记为

YU = I

矩阵 Y 称为节点导纳矩阵。它的对角线元素 Y _ü 称为节点 i 的自导纳，其值等于接于节点 i 的所有支路导纳之和。非对角线元素 Y _ij 称为节点 i 、 j 间的互导纳，它等于直接联接于节点 i 、 j 间的支路导纳的负值。若节点 i 、 j 间不存在直接支路，则有 Y _ij =0。由此可知，节点导纳矩阵是一个稀疏的对称矩阵。

3.1.2 节点导纳矩阵元素的物理意义

现在进一步讨论节点导纳矩阵元素的物理意义。

如果令

代入式（3-3）的各式，可得

或

当 k = i 时，式（3-6）说明，当网络中除节点 i 以外所有节点都接地时，从节点 i 注入网络的电流与施加于节点 i 的电压之比，即等于节点 i 的自导纳 Y _ij 。换句话说，自导纳 Y _ij 是节点 i 以外的所有节点都接地时节点 i 对地的总导纳。显然， Y _ij 应等于与节点 i 相接的各支路导纳之和，即

式中， y _{i 0} 为节点 i 与零电位节点之间的支路导纳； y _ij 为节点 i 与节点 j 之间的支路导纳。

当 k ≠ i 时，式（3-6）说明，当网络中除节点 k 以外所有节点都接地时，从节点 i 流入网络的电流与施加于节点 k 的电压之比，即节点 k 、 i 之间的互导纳 Y _ik 应等于节点 k 、 i 之间的支路导纳的负值，即

不难理解 Y _ik = Y _ki 。若节点 i 和 k 没有支路直接相联时，便有 Y _ik =0。

节点导纳矩阵的主要特点如下：

1）导纳矩阵的元素很容易根据网络接线图和支路参数直观地求得，形成节点导纳矩阵的程序比较简单。

2）导纳矩阵是稀疏矩阵。它的对角线元素一般不为零，但在非对角线元素中则存在不少零元素。在电力系统的接线图中，一般每个节点同平均不超过3～4个其他节点有直接的支路联接，因此在导纳矩阵的非对角线元素中每行平均仅有3～4个非零元素，其余的都是零元素。如果在程序设计中设法排除零元素的存储和运算，就可以大大地节省存储单元和提高计算速度。

例3-1 某电力系统的等效网络如图3-2所示。已知各元件参数的标幺值如下：

z ₁₂ =j0.105， k ₂₁ =1.05， z ₄₅ =j0.184， k ₄₅ =0.96， z ₂₄ =0.03+j0.08， z ₂₃ =0.024+j0.065， z ₃₄ =0.018+j0.05， y ₂₄₀ = y ₄₂₀ =j0.02， y ₂₃₀ = y ₃₂₀ =j0.016， y ₃₄₀ = y ₄₃₀ =j0.013。试作节点导纳矩阵。

解 ：先讨论网络中含有非基准变比的变压器时导纳矩阵元素的计算。设节点 p 、 q 间接有变压器支路，如图3-3所示。根据Ⅱ型等效电路，可以写出节点 p 、 q 的自导纳和节点间的互导纳分别为

计及上述关系，导纳矩阵元素可以逐个计算如下：

将以上计算结果排列成矩阵，便得

3.1.3 节点导纳矩阵的修改

在电力系统的运行分析中，往往要计算不同接线方式下的运行状态。网络接线改变时，节点导纳矩阵也要作相应的修改。假定在接线改变前导纳矩阵元素为 ，接线改变以后应修改为 。现在就几种典型的接线变化，说明修改增量Δ Y _ij 的计算方法。

1）从网络的原有节点 i 引出一条导纳为 y _ik 的支路，同时增加一个节点 k （见图3-4a）。

由于节点数加1，导纳矩阵将增加一行一列。新增的对角线元素 Y _kk = y _ik 。新增的非对角线元素中，只有 Y _ik = Y _ki = -y _ik ，其余的元素都为零。矩阵的原有部分，只有节点 i 的自导纳应增加Δ Y _ij = y _ik 。

2）在网络的原有节点 i 、 j 之间增加一条导纳为 y _ij 的支路（见图3-4b）。

由于只增加支路不增加节点，故导纳矩阵的阶次不变。因而只要对与节点 i 、 j 有关的元素分别增添以下的修改增量即可。

Δ Y _ii =Δ Y _jj = y _ij ，Δ Y _ij =Δ Y _ji = -y _ij

其余的元素都不必修改。

3）在网络的原有节点 i 、 j 之间切除一条导纳为 y _ij 的支路。

这种情况可以当作是在 i 、 j 节点间增加一条导纳为 -y _ij 的支路来处理，因此，导纳矩阵中有关元素的修正增量为

Δ Y _ii =Δ Y _jj = -y _ij ，Δ Y _ij =Δ Y _ji = -y _ij

其他的网络变更情况，可以仿照上述方法进行处理，或者直接根据导纳矩阵元素的物理意义，导出相应的修改公式。

例3-2 在例3-1的电力系统中，将接于节点4、5之间的变压器的变比由 k ₄₅ =0.96调整为 =0.98，试修改节点导纳矩阵。

解 ：将节点 p 、 q 之间的变压器（见图3-3）的电压比由 k 改为 k′ ，相当于先切除电压比为 k 的变压器，再接入电压比为 k′ 的变压器。利用例3-1解答中导出的关系，与节点 p 、 q 有关的导纳矩阵元素的修正增量应为

将上述关系式用于节点4和5，可得

因此，在修改后的节点导纳矩阵中，有

Y ₄₄ =10.4835-j34.5283+j0.2382=10.4835-j34.2901

Y ₄₅ = Y ₅₄ =j5.6612-j0.1155=j5.5457

其余的元素都保持原值不变。

3.1.4 支路间存在互感时的节点导纳矩阵

在必须考虑支路之间的互感时，常用的方法是采用一种消去互感的等效电路来代替原来的互感线路组，然后就像无互感的网络一样计算节点导纳矩阵的元素。

现以两条互感支路为例来说明这种处理方法。假定两条支路分别接于节点 p 、 q 之间和节点 r 、 s 之间，支路的自阻抗分别为 z _pq 和 z _rs ，支路间的互感阻抗为 z _m ，并以小黑点表示互感的同名端（见图3-5a）。这两条支路的电压方程可用矩阵表示为

或者写成

上式中的导纳矩阵是式（3-9）中阻抗矩阵的逆，其元素为

将式（3-10）展开，并作适当改写，可得

根据式（3-11）可作出消互感等效电路，如图3-5b所示。这是一个有四个顶点六条支路的完全网形电路。原有的两条支路其导纳值分别变为 和 （注意： ， ）。在原两支路的同名端点之间增加了导纳为 的新支路，异名端点之间则增加了导纳为 的新支路。利用这个等效电路，就可以按照无互感的情况计算节点导纳矩阵的有关元素。

对于有更多互感支路的情况也可以用同样的方法处理。在实际的电力系统中，互感线路常有一端接于同一条母线的情况。若 pq 支路和 rs 支路的节点 p 和 r 接于同一条母线，则在消互感等效电路中，将节点 p 和 r 接在一起即可，所得的三端点等效电路如图3-6所示。