1.阻抗
在电力系统计算中,求取变压器电阻的方法和“电机学”中介绍的相同。由于变压器短路损耗 P k 近似等于额定电流流过变压器时高低压绕组中的总铜耗
P k ≈ P cu
而铜耗与电阻之间有如下的关系
可得
式中, U N 、 S N 以V、VA为单位; P k 以W为单位;如 U N 改以kV、 S N 改以MVA为单位,则可得
式中, R T 为变压器高低压绕组的总电阻,单位为Ω; P k 为变压器的短路损耗,单位为kW; S N 为变压器的额定容量,单位为MVA; U N 为变压器的额定电压,单位为kV。
在电力系统计算中,求取变压器电抗的方法和“电机学”中介绍的略有不同。由于大容量变压器的阻抗以电抗为主,亦即变压器的电抗和阻抗数值上接近相等,可近似认为变压器的短路电压 U k %与变压器的电抗有如下关系
从而
式中, X T 为变压器高低压绕组的总电抗,单位为Ω; U k %为变压器的短路电压百分值; S N 、 U N 的代表意义与式(2-41)相同。
2.导纳
变压器的励磁支路有两种表示方式,以阻抗表示和以导纳表示。前者在“电机学”中常用,后者则在电力系统计算中常用。它们分别示于图2-11中。而与之对应的空载运行时的电压、电流相量图则示于图2-12中。
图2-11 双绕组变压器的等效电路
图2-12 双绕组变压器空载运行时的相量图
变压器励磁支路以导纳表示时,其电导对应的是变压器的铁耗 P Fe 。但因变压器的铁耗与变压器的空载损耗近似相等,电导也可与空载损耗相对应。而由图2-11b可见,两者之间有如下的关系
式中, G T 为变压器的电导,单位为S; P 0 为变压器的空载损耗,单位为kW; U N 为变压器的额定电压,单位为kV。
变压器空载电流中流经电纳的部分 I b 占很大比重,从而它和空载电流 I 0 在数值上接近相等,可以 I 0 代替 I b 求取变压器的电纳。亦即由于
而
可得
将 代入,最后得
式中, B T 为变压器的电纳,单位为S; I 0 %为变压器的空载电流百分值; U N 、 S N 的代表意义与式(2-43)相同。
求得变压器的阻抗、导纳后,即可作变压器的等效电路。变压器的等效电路有Γ形等效电路和T形等效电路。在电力系统计算中,通常用Γ形等效电路,且将励磁支路接在电源侧。这种等效电路就如图2-11b所示。需注意的是,变压器电纳的符号与线路电纳的符号相反,因前者为感性而后者为容性。
三绕组变压器的等效电路如图2-13所示。图中,变压器的励磁支路也以导纳表示。
图2-13 三绕组变压器的等效电路
计算三绕组变压器各绕组阻抗的方法虽与计算双绕组变压器时没有本质区别,但由于三绕组变压器各绕组的容量比有不同组合,而各绕组在铁心上的排列又有不同方式,需注意。
1.电阻
三绕组变压器按三个绕组容量比的不同有三种不同类型。第一种为100/100/100%,即三个绕组的容量都等于变压器额定容量。第二种为100/100/50%,即第三绕组的容量仅为变压器额定容量的50%。第三种为100/50/100%,即第二绕组的容量仅为变压器额定容量的50%。
三绕组变压器出厂时,制造厂应提供三个绕组两两作短路试验时测得的短路损耗。如该变压器属第一种类型,可由提供的短路损耗 P k(1-2) 、 P k(2-3) 、 P k(3-1) 直接按下式求取各绕组的短路损耗
然后按与双绕组变压器相似的公式计算各绕组电阻
如该变压器属于第二种和第三种类型,则制造厂提供的短路损耗数据是一对绕组中容量较小的一方达到它本身的额定容量,即 I N / 2时的值。这时,应首先将各绕组间的短路损耗数据归算为额定电流下的值,再运用上列公式求取各绕组的短路损耗和电阻。例如,对100/50/100%类型变压器,制造厂提供的短路损耗 P k(1-2) 、 P k(2-3) 都是第二绕组中流过它本身的额定电流,即二分之一变压器额定电流时测得的数据。因此,应首先将它们归算到对应于变压器的额定电流
然后再按式(2-45)和式(2-46)计算。
有时,对三绕组变压器只给出一个短路损耗——最大短路损耗 P k.max 。所谓最大短路损耗,指两个100%容量绕组中流过额定电流,另一个100%或50%容量绕组空载时的损耗。由 P k.max 可求得两个100%容量绕组的电阻。然后根据“按同一电流密度选择各绕组导线截面积”的变压器设计原则,可得另一个100%容量绕组的电阻——就等于这两个绕组之一的电阻;或另一个50%容量绕组的电阻——就等于这两个绕组之一电阻的两倍。换言之,这时的计算公式为
2.电抗
三绕组变压器按其三个绕组排列方式的不同有两种不同结构——升压结构和降压结构。升压结构变压器的中压绕组最靠近铁心,低压绕组居中,高压绕组在最外层。降压结构变压器的低压绕组最靠近铁心,中压绕组居中,高压绕组仍在最外层。
绕组排列方式不同,绕组间漏抗,从而短路电压也就不同。如设高压、中压、低压绕组分别为第一、二、三绕组,则因升压结构变压器的高、中压绕组相隔最远,两者间漏抗,从而短路电压 U k(1-2) %最大,而 U k(2-3) %、 U k(3-1) %就较小。降压结构变压器的高、低压绕组相隔最远, U k(3-1) %最大,而 U k(1-2) %、 U k(2-3) %则较小。
排列方式虽有不同,但求取两种结构变压器电抗的方法并无不同,即由各绕组两两之间的短路电压 U k(1-2) %、 U k(2-3) %、 U k(3-1) %求出各绕组的短路电压
再按与双绕组变压器相似的计算公式求各绕组的电抗
应该指出,和求取电阻时不同,制造厂提供的短路电压总是归算到各绕组中通过变压器额定电流时的数值。因此,计算电抗时,对第二、三类变压器,其短路电压不要再归算。
求取三绕组变压器导纳的方法和求取双绕组变压器导纳的相同。
就端点条件而言,自耦变压器可完全等效于普通变压器,如图2-14所示。自耦变压器的短路试验又和普通变压器的相同。自耦变压器参数和等效电路的确定也和普通变压器的无异。需要说明的只是三绕组自耦变压器的容量归算问题,因三绕组自耦变压器第三绕组的容量总小于变压器的额定容量 S N 。而且,制造厂提供的短路试验数据中,不仅短路损耗 P k ,甚至短路电压 U k %有时也是未经归算的数值。如需作这种归算,由前已知,可将短路损耗 、 乘以( S N /S 3 ) 2 ,将短路电压 %、 %乘以 S N /S 3 。
图2-14 自耦变压器和普通变压器的等效电路
例2-4 三相三绕组水内冷有载调压变压器的部分技术数据见表2-2
表2-2 三相三绕组水内冷有载调压变压器短路电压和短路损耗(未经归算)
额定容量:30000/30000/20000kVA
额定电压:110/38.5/11kV
空载电流:30.1A
空载损耗:67.4kW
试求变压器的阻抗、导纳,并作Γ形等效电路。所有参数都归算至高压侧。
解 :1)阻抗。
先将短路损耗归算至对应于变压器额定容量
从而
于是
先求出各绕组的短路电压
于是
中压绕组的等效电抗很小,而且是负值。因变压器属于降压结构,中压绕组居中,高、低压绕组对它的互感影响很强,当超过其本身自感时,等效电抗就呈现负值。三绕组变压器处于居中位置绕组的等效电抗呈现负值是常见现象,但因这负值往往很小,计算时可取其为零。
2)导纳。
由于此处已知的是空载电流的绝对值而非百分值,可由这绝对值直接求取电纳,即由
得
式中, B r 的单位为S; I 0 的单位为A; U N1 的单位为V。
将相应数据代入,可得
3)等效电路。
三绕组变压器等效电路如图2-15所示。
图2-15 三绕组变压器等效电路
制造厂提供的电抗器电抗数据往往以百分值表示。这些百分值与以Ω为单位的数值之间有如下关系
从而
式中, X R 为电抗器电抗,单位为Ω; X R %为电抗器电抗的百分值; U N 为电抗器的额定电压,单位为kV; I N 为电抗器的额定电流,单位为kA。
一般都不计电抗器的电阻。从而,电抗器的等效电路是一个纯电抗。
发电机和负荷是电力系统的两个最重要组成部分,它们的特性也最复杂。因而可以认为,发电机和负荷的表示方式,其中包括它们的参数和等效电路,是两个专门问题。但由于分析计算电力系统稳态运行时运用的等效网络往往以发电机的端点为始端,即其中往往不包括发电机元件;而其中的负荷又往往以恒定功率表示,只有在需要深入研究的场合,才计及负荷的静态电压特性,本章中只介绍某些最基本的概念和计算公式。
由于发电机定子绕组电阻相对很小,通常可将其略去。
制造厂提供的发电机电抗数据往往以百分值表示。这些百分值与以Ω为单位的数值之间有如下关系
从而
或
式中, X G 为发电机电抗,单位为Ω; X G %为发电机电抗的百分值; U N 为发电机的额定电压,单位为kV; S N 为发电机的额定视在功率,单位为MVA; P N 为发电机的额定有功功率,单位为MW;cos φ N 为发电机的额定功率因数。
求得发电机电抗后,就可求它的电势
式中, 为发电机电势,单位为kV; 为发电机的定子电流,单位为kA; 为发电机的端电压,单位为kV。
求得发电机电抗、电势后,就可作以电压源或电流源表示的发电机的等效电路,如图2-16所示。显然,这两种等效电路可以互换。
但需注意,由于发电机的等效电路和其他元件的等效电路一样,也是单相等效电路,上式中、图中的发电机电势 、定子电流 、端电压 也都是每相电势、电流、电压。
图2-16 发电机的等效电路
至于式(2-52)、式(2-53)或图2-16中发电机的电抗、电势究竟应以何值代入,则因所分析的问题和要求的精确度而异。这个问题将在有关章节中讨论,此处从略。
如前所述,负荷可以恒定不变的功率表示。当负荷电流滞后于其端电压,即负荷属感性时,由
可得
式中, 为负荷的端电压,单位为kV; 为负荷电流的共轭值,单位为kA; δ u -δ i 为负荷端电压、负荷电流的相位角,单位为(°); φ L 为负荷电流滞后于端电压的角度,即负荷的功率因数角,单位为(°); S L 为负荷的视在功率,单位为MVA; P L 、 Q L 为负荷的有功、无功功率,单位分别为MW、Mvar。
式中的负荷端电压、负荷电流、负荷功率都是相电压、相电流和每相功率。
计及负荷的静态电压特性时,由于负荷功率与其端电压之间无简单关系可循,常需采取一定的简化假设,例如,设负荷功率与其端电压的二次方成正比。这种假设实际上相当于设负荷的静态电压特性为抛物线,或设代表负荷的阻抗(或导纳)大小和幅角——功率因数角恒定。
由负荷功率求取恒定负荷阻抗或导纳的方法为:由 S = 得 ;由 得 ,从而由 得
由 得
于是
如代表负荷的导纳写作 Y L = G L +j B L ,则式(2-58)应改写为
求得这些阻抗、导纳后,就可得负荷的等效电路,如图2-17所示。它们仍是单相等效电路。在求取这些等效电路中的阻抗、导纳时,既可以单相功率和相电压,也可以三相功率和线电压代入式(2-57)、式(2-58)。
图2-17 负荷的等效电路
求得各元件的等效电路后,就可根据系统的电气结线图绘制整个系统的等效网络图。这时,只要注意一个问题——电压级的归算问题。
在多电压级电力系统的计算中,常需将阻抗、导纳以及相应的电压、电流归算至同一电压等级——基本级。通常取系统中最高电压级为基本级,如图2-18中为220kV级。
图2-18 多电压级电力系统
归算时按下式计算
相应地
式中, k 1 k 2 … k n 为变压器的电压比; R′ 、 X′ 、 G′ 、 B′ 、 U′ 、 I′ 分别为归算前的值,单位分别为Ω、S、kV、A; R 、 X 、 G 、 B 、 U 、 I 分别为归算后的值,单位分别为Ω、S、kV、A。
计算电压比时的方向应从基本级到待归算的一级。例如,图2-18中,如选220kV级为基本级,变压器T-1的电压比应取242/10.5,T-2的电压比应取220/121,T-3的电压比应取110/11,即电压比的分子为向基本级一侧的电压,分母为待归算级一侧的电压。
关于电压比的数值,在需要精确计算的场合应取各变压器的实际电压比,如图2-18中的242/10.5、220/121、110/11等。对精确度要求不高的计算,则可认为:系统各元件的额定电压等于与这些元件所在电压级相对应的“平均额定电压”,而变压器的电压比也取这些平均额定电压的比值。所谓平均额定电压就是对应国家规定的每个电压级再规定一个电压,并认为这电压就是所有属于这电压级各元件的额定电压。
与我国国家规定的额定电压级相对应的平均额定电压见表2-3。
表2-3 我国额定电压级及其对应平均额定电压
它们大约较相应额定电压级的千伏数高5%。
于是,图2-18中各变压器的额定电压和电压比将分别为230/10.5、230/115、115/10.5,而不再是242/10.5、220/121、110/11。
引入平均额定电压后,可大大简化计算。不难证明,这时,式(2-59)~式(2-62)可简化如下
式中, U av.b 为基本级的平均额定电压,单位为kV; U av 为待归算级的平均额定电压,单位为kV。
显然,与此同时,式(2-2)和式(2-3)中推导的所有求取发电机、变压器,乃至负荷电阻、电抗的公式中,都应以平均额定电压 U av 替代额定电压 U N 。
例2-5 电力系统结线图如图2-19所示,图中各元件的技术数据见表2-4,电力系统各元件参数计算见表2-5。试作该系统的等效网络。作此网络时,1)按变压器的实际电压比;2)按平均额定电压的比值将各参数归算至220kV侧。变压器的电阻、导纳,线路的电导,线路l-3、l-4的导纳都可略去。发电机的电抗取 x′ d 。
表2-4 电力系统各元件的技术数据
(续)
图2-19 电力系统结线图
解 :见表2-5。
表2-5 电力系统各元件参数计算
(续)
需注意,按平均额定电压计算时,电抗器的电抗需先按其本身的额定电压、额定电流求得后,再用平均额定电压的比值将其归算至基本级。因电抗器可能不按其额定电压使用,例如,10kV电抗器用于6kV网络。
至少,可运用求得的各元件参数绘制系统的等效网络,如图2-20所示。图中,括号内数字是按平均额定电压的比值计算所得。
图2-20 电力系统的等效网络
在电力系统的计算中,除了运用上列具有单位的阻抗、导纳、电压、电流、功率进行运算外,还广泛运用没有单位的阻抗、导纳、电压、电流、功率的相对值进行运算。前者称为有名制,后者称为标幺制。标幺制之所以能在相当宽广的范围内取代有名制是由于标幺制具有计算结果清晰、便于迅速判断计算结果的正确性、可大量简化计算等优点。
在标幺制中,上列各量既都以相对值出现,必然要有所相对的基准,即所谓基准值。标幺值、有名值、基准值之间应有如下关系
按上式,并计及三相对称系统中,线电压为相电压的 倍,三相功率为单相功率的3倍,如取线电压的基准值为相电压基准值的 倍,三相功率的基准值为单相功率基准值的3倍,则线电压和相电压的标幺值数值相等,三相功率和单相功率的标幺值数值相等。而通过运算将会发现,标幺制的这一特点也是它的一个优点。
基准值的单位应与有名值的单位相同,这是选择基准值的一个限制条件。选择基准值的另一个限制条件是阻抗、导纳、电压、电流、功率的基准值之间也应符合电路的基本关系。如阻抗、导纳的基准值为每相阻抗、导纳;电压、电流的基准值为线电压、线电流;功率的基准值为三相功率,这些基准值之间应有如下的关系
式中, Z B 、 Y B 为每相阻抗、导纳的基准值; U B 、 I B 为线电压、线电流的基准值; S B 为三相功率的基准值。
由此可见,五个基准值中只有两个可以任意选择,其余三个必须根据上列关系派生。通常是,先选定三相功率和线电压的基准值 S B 、 U B ,然后按上列关系式求出每相阻抗、导纳和线电流的基准值
功率的基准值往往就取系统中某一发电厂的总功率或系统的总功率,也可取某发电机或变压器的额定功率,有时也取某一个整数,如100MVA、1000MVA等。电压的基准值往往就取系统中被选作为基本级的额定电压或平均额定电压。例如,图2-18中,如选220kV电压级为基本级,则可选220kV或230kV为电压的基准值。
决定了功率、电压的基准值,求得了阻抗、导纳、电流的基准值后,对单一电压级系统,就可根据标幺值的定义,即式(2-67)直接求取这些量的标幺值。但对多电压级系统,还有一个电压级的归算问题。计及电压级的归算而求取标幺值的途径有两条:
1)将系统各元件阻抗、导纳以及系统中各点电压、电流的有名值都归算到同一电压级——基本级,然后除以与基本级相对应的阻抗、导纳、电压、电流基准值,即
式中, Z * 、 Y * 、 U * 、 I * 为阻抗、导纳、电压、电流的标幺值; Z 、 Y 、 U 、 I 为归算到基本级的阻抗、导纳、电压、电流的有名值; Z B 、 Y B 、 U B 、 I B 、 S B 为与基本级相对应的阻抗、导纳、电压、电流、功率的基准值。
2)将未经归算的各元件阻抗、导纳以及系统中各点电压、电流的有名值除以由基本级归算到这些量所在电压级的阻抗、导纳、电压、电流基准值,即
式中, Z * 、 Y * 、 U * 、 I * 为阻抗、导纳、电压、电流的标幺值; Z′ 、 Y′ 、 U′ 、 I′ 为未经归算的阻抗、导纳、电压、电流的有名值; 、 、 、 、 为由基本级归算到 Z′ 、 Y′ 、 U′ 、 I′ 所在电压级的阻抗、导纳、电压、电流、功率的基准值。
这里, Z 、 Y 、 U 、 I 与 Z′ 、 Y′ 、 U′ 、 I′ 的关系如式(2-59)~式(2-62),而 Z B 、 Y B 、 U B 、 I B 、 S B 与 、 、 、 、 的关系则为
最后一式表明基准功率不存在电压级的归算问题,因 。
由式(2-70)和式(2-71)可见,这两种方法殊途同归,所得各量的标幺值毫无差别。例如,设图2-18中先选定基本级为220kV级;基准功率为100MVA,与这基本级对应的基准电压为220kV。设图中110kV线路未经归算的阻抗为 Z′ =36.6Ω,归算至220kV基本级后为 Z = Z′k 2 =36.6×(220 / 121) 2 Ω=121Ω。按第一种方法求其标幺值时,先求与220kV基本级对应的阻抗基准值 =220 2 / 100=484Ω;然后将归算至220kV基本级的 Z 除以这个 Z B ,可得 Z * = Z/Z B =121 / 484=0.25。按第二种方法求其标幺值时,先将基准电压由220kV基本级归算至线路所在的110kV级, =220×121 / 220=121kV,再求归算至110kV的阻抗基准值 =121 2 / 100Ω=146.4Ω,最后将未经归算的 Z′ 除以这个 ,也可得 =36.6 / 146.4=0.25。
如取平均额定电压的比值代替变压器的实际电压比,上列计算可大为简化。这时,式(2-70)可改写为
式中, U av.b 为基本级的平均额定电压。
式(2-71)又可改写为
式中, U av 为 Z′ 、 Y′ 、 U′ 、 I′ 所在电压级的平均额定电压。
这里, Z 、 Y 、 U 、 I 与 Z′ 、 Y′ 、 U′ 、 I′ 的关系如式(2-63)~式(2-66)。
如前所述,系统中某些元件的电抗或阻抗,制造厂提供的是以百分值表示的数据。它们其实是以百分数表示的、以这些元件本身额定电压、电流、功率以及相应的阻抗为基准的标幺值。在求取它们以选定的电压、电流、功率以及相应的阻抗为基准的标幺值时,可将式(2-71)与求取它们有名值的计算公式(2-52)、式(2-51)和式(2-42)等合并,得
如以平均额定电压的比值替代变压器的实际电压比,又可将式(2-74)与式(2-52)、式(2-51)和式(2-42)等合并,得
如取这些元件本身的额定电压就等于它们所在电压级的平均额定电压,即 U N = U av ,式(2-76)可进一步简化为
在 X R* 的计算公式中,运用了 的关系,但未将 U av 与 U N 相约,因电抗器有时不按其额定电压使用。
最后,将如上讨论归纳如下:
式(2-70)和式(2-71)都是按变压器实际电压比归算电压的精确计算公式。
式(2-73)和式(2-74)都是按平均额定电压的比值归算电压的近似计算公式。
按式(2-70)或式(2-71)计算的结果相同,按式(2-73)或式(2-74)计算的结果相同。
按式(2-70)或式(2-73)计算是先将各量(阻抗、导纳、电压、电流)的有名值归算至基本级,然后在基本级折算为标幺值。
按式(2-71)或式(2-74)计算是先将各量的基准值由基本级归算至其他级,然后“就地”将各量的有名值折算为标幺值。
式(2-75)是由式(2-71)所派生的,因而也是精确计算公式,式(2-76)是由式(2-74)所派生的,因而也是近似计算公式。
式(2-75)和式(2-76)都是“就地”将各量折算为标幺值的计算公式。
式(2-77)则是在式(2-76)的基础上取各元件的额定电压等于各该元件所在电压级的平均额定电压而得的简化公式。这组公式常用。
例2-6 系统结线图和各元件的技术数据如例2-5。试按标幺制作其等效网络。取基准功率为1000MVA,1)220kV级的基准电压为220kV,按变压器实际电压比计算,2)220kV级的基准电压为平均额定电压230kV,按平均额定电压的比值计算。电力系统各元件参数计算见表2-5。
解 :1)按变压器实际电压比计算时,归算至其他各级的电压、电流基准值分别为
2)按平均额定电压比值计算时,归算至其他各级的电压、电流基准值分别为
U av(220) =230kV; U av(110) =115kV
U av(35) =37kV; U av(10) =10.5kV
13.8kV级未规定平均额定电压,取 U av(13.8) =13.8kV
具体见表2-6。
表2-6 电力系统各元件参数计算
(续)
(续)
至此,可绘制以标幺制表示的系统等效网络,如图2-21所示。
事实上,本例中所有标幺值都可由例2-5中已求得的有名值直接折算,虽然这样做反而要增加计算工作量。
图2-21 以标幺制表示的电力系统等效网络
实际上,以上已讨论了制定电力系统等效网络的全过程。以下仅需做些整理、归纳。
制定电力系统等效网络的方法分为两大类:
有名制——系统所有参数和变量都以有名单位,如Ω、S、kV、kA(A)、MVA(VA)等表示;
标幺制——系统所有参数和变量都以与它们同名基准值相对的标幺值表示,因此都没有单位。
对多电压级系统,因不同电压级间归算方法的不同,如上的两类又可再分为两类:
精确计算法——变压器的电压比采用其实际电压比,而各元件的额定电压也取它们的实际额定电压;
近似计算法——变压器的电压比采用平均额定电压的比值,各元件的额定电压则取它们所在电压级的平均额定电压。
这四类方法的计算公式可归纳如下。
1.有名制(见表2-7)
表2-7 有名制
注:在近似计算负荷阻抗或导纳时,设负荷端电压 U L 等于该级平均额定电压 U av 。
2.标幺制9见表2-8)
表2-8 标幺制
注:在近似计算负荷阻抗或导纳时,设负荷端电压 U L 等于该级平均额定电压 U av 。
上列四类计算方法中,常用的是有名制的精确计算法和标幺制。但前者一般只用于稳态运行方式的计算。
因计算内容和要求的不同,某些元件的某些参数有时可略去:
发电机定子绕组电阻有时可略去;
变压器电导、电阻,甚至电纳有时也可略去;
线路电阻小于电抗的1/3时,有时可略去;电导通常可略去;100km以下架空线路的电纳也可略去;
电抗器电阻通常可略去。
有时,整个元件,甚至部分系统都可不包括在等效网络中。例如,计算系统正常运行方式时,因不必计算发电机本身的运行状况,通常从发电机端点开始计算,发电机元件就不包括在等效网络中。这样,又可进一步简化等效网络。