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风险决策都可以表示为多个结果（或称作“奖励”）与对应概率的组合。当奖品是货币时，我们可以很容易计算出每个决策的预期货币值。例如，一笔投资的回报为1000美元或2000美元，二者概率均为1/2，则这笔投资的期望收益为：（1/2）×1000+（1/2）×2000=1500美元。对一个风险中性的人来说，这一彩票（gamble）
相比于确定性的1499美元更具吸引力。风险中性的人会做出使期望收益更高的决策；而风险厌恶的人则会为了降低风险而忍受较低的期望收益。在这一章将探讨几种最普遍的风险偏好测度方式，并介绍其操作流程与对应的结果。首先，本章将通过一个价目表（price list）结构的备选菜单，展示期望价值最大化和风险厌恶这两个关键概念。此外，还将探讨投资任务（货币以一定比例投资于安全资产和风险资产）和“炸弹”方法（突出风险与收益之间的权衡取舍）等测度方式。
教师须知： 在课堂讨论开始前，可以使用Veconlab软件——选择“决策”（Decision）菜单下的彩票选择实验（Lottery-Choice experiment），来开展多种类型的备选菜单实验。该博弈可在网上进行，学生可以在课余时间自行完成，从而节省课堂时间。教师点击“图形”（Graph）按钮，程序便可绘制并给出图形，方便后续的课堂讨论。除此之外，还可以通过Veconlab投资博弈（投资的连续配置）和价值诱出（Value Elicitation）博弈（包含6种离散的投资组合选择）下的“投资组合”（investment portfolio）选项，在课前开展投资任务（investment task）实验。人工版本的选择菜单实验需要一枚10面骰子作为道具，配套的实验说明可见于书末附录B中的第3章课堂实验说明。附录中还包括后续将介绍的“墨水炸弹”任务所引发的风险厌恶测度方法的实验说明。
假设你是电视节目《谁想成为百万富翁》的参赛者。目前，你的奖金已经累积到50万美元，但是，面前却剩下一个完全不了解的问题。幸运的是，此时你还拥有“五五开”的机会——去除两个错误答案，余下一正一错两个你都不熟悉的选项。在此关头，你认为自己只有一半的机会猜对，答对则将成为一名百万富翁。但是，如果答错，你只能获得保本奖金32000美元；或者，你可以选择现在退出，获得现有的50万美元奖金。为了决定是否选择拿走50万美元并退出游戏，你决定计算一下继续答题的期望收益。若选择继续，你有50%的机会得到32000美元，另外50%的机会得到100万美元，因此期望收益为
0.5×32000+0.5×1000000=16000+500000=516000（ 美元 ）
这个期望收益高于现在退出游戏所能获得的500000美元，但是，问题是你将处于“要么获得32000美元，要么获得1000000美元”的境地，而不是得到二者的平均值。所以，问题在于，期望收益上增加的16000美元是否值得为其承担上述风险。如果你喜欢风险，那么自然没有问题，放手一搏就是。如果你对风险的态度是中性的，那么为了平均收益上额外的16000美元你也该选择冒险一试。如果你并不属于上述两种情况，那么你可能会认为32000美元也就够花上半年，只有500000美元或更多的奖金才足以改变自己的生活方式（新的全能越野车、热带旅游等），于是你选择退出游戏。对于退出游戏的人而言，风险的危害大到不值得为了额外16000美元的平均收益而冒险，因此，他属于风险厌恶（risk averse）者。
现在，让我们考虑一种更加极端的情形。你现在有机会得到确定性的1000000美元，或者抛一次硬币——正面朝上获得3000000美元，反面则一无所获。如果你相信抛硬币的过程公平公正，那么你实质上就是在下述两个彩票之中进行选择：
安全彩票：确定性的1000000美元。
风险彩票：50%的概率得到3000000美元，另外50%的概率一无所获（0美元）。和以前一样，风险彩票的期望值可以通过将对应的概率与收益相乘来计算，为1500000美元。然而，当面对选择时，大多数人会选择无风险的1000000美元。值得注意的是，对于这些人来说，多出的500000美元的期望收益不值得为其冒一无所获的风险。经济学家将此称为风险厌恶，而对于外行人来说，原因是非常直观的：第一个100万美元可以给生活带来巨大改观；而第二个100万美元虽然在金钱数目上相等，但对于大多数人而言很难想象它能给生活带来多少额外的变化。粗略而言，第二个100万美元的额外（边际）效用要远低于第一个100万美元。第三个100万美元的边际效用还要更低（尽管在此状况下，可能会有更多的人想要与你交朋友）。边际效用递减的效用函数可以用“坡”状曲线来描述，如图3-1中的灰线所示。这条曲线位于45度虚线的上方且向下弯曲，体现出递减的边际效用。在这条灰线上，靠近原点处的斜率很大，向右逐渐降低，这也直观地体现出边际效用递减的特征。效用函数越弯曲，额外的100万美元对应的效用降低得也就越快。
边际效用递减假设最早由Daniel Bernoulli（1738）提出，有很多函数满足这一特性。其中，一类是幂函数（power function）： U （ x ）= x 1 -r /（1 -r ），其中 x 是收入金额， r ＜1代表风险厌恶水平。分母上的1 -r 仅是一种标度惯例；函数的曲率由指数决定。注意，当 r =0时，该效用函数的指数为1，为线性函数形式： U （ x ）= x 1 = x ，此时函数形状不再是弯曲的，因此，收入的边际效用也不会递减。对这类人来说，第二个100万美元和第一个100万美元同样有吸引力，即风险是中性的。另外，若风险厌恶测度指标 r 从0提高到0.5，此时效用函数为 U （ x ）=2 x 0.5 ，即图3-1中的平方根函数（被因子1/（1 -r ）规范化后，该因子此时等于2）。进一步提高 r 将使得函数形状更加弯曲，在此意义上， r 可以作为额外收入边际效用递减程度的一种测度指标，常被称作相对风险厌恶（relative risk aversion）系数。若 r 为负，函数效用增量的边际效用则递增，应为风险追逐的偏好类型。边际效用递减的效用函数，如图3-1中的灰线，是一种凹（concave）函数。与此相反，边际效用递增的效用函数，如图中黑线，是一种凸（convex）函数。总结如下：
图3-1 风险中性（笔直虚线）、风险厌恶（灰色凹线）和风险偏好（黑色凸线）的效用函数
风险偏好和效用： 在图3-1中，笔直的虚线表示，当 r =0时，货币产生的效用等于其数量。这种线性的效用函数对应于风险中性的情形，即此类个体只关心彩票对应的期望收益。向右斜率逐渐递减的灰色曲线对应着风险厌恶的情形， r ＞0。曲率递增的黑色曲线，即随着向右移动，边际效用递增，对应着风险追逐的情形， r ＜0。
目前为止考虑的所有例子，都是在百万美元量级的彩票间进行选择。（很不幸，）其中的收益都是假想出来的。这就造成了一个问题——此时你的回答与真实情境下的实际选择是不是相同呢？举例来说，如果你真的闯到了《谁想成为百万富翁》的最后一关，究竟会如何选择？如果我们能够探明人们在高收益情形下的行动，而又无须花费巨额成本，那该是何等幸运。当假设的彩票赌注成为现实时，人们的行为可能会发生戏剧性的变化，这被称为假设偏向（hypothetical bias）。这种现象在电影《桃色交易》（ An Indecent Proposal ）（派拉蒙影业，1993）中恰有体现：
John（Robert饰演）：假如我给你100万美元，让你老婆陪我吃顿饭如何？
David（Woody饰演）：我想你在开玩笑吧。
John：假如我没有呢？你会怎么说？
Diana（Demi饰演）：他会告诉你，见鬼去吧。
John：我没听见他亲口这么说。
David：那我告诉你，见鬼去吧。
John：这只是你的应激反应，因为你将它视作一个假想出来的问题。但我不开玩笑，现在就有这么一笔钱摆在你面前。100万美元。吃饭的时间稍纵即逝，但这笔钱足够花上一辈子。好好考虑一下，100万美元，吃一顿饭换取一辈子的保障。你也无须马上答复，但还是仔细想想吧。
影片中，John的提议最终被接受了，这就是激励问题的好莱坞式答案。从一个更加科学的角度，可以通过实验技术考察增加激励的效果。但是在回到这个问题之前，让我们先思考一下用于评估风险态度的彩票选择实验，这将有助于理解问题，也是下面一节的主要内容。
在前面讨论过的所有情境中，安全彩票是确定性的一笔钱，且无任何风险。确定性的选项可能有一种特别的吸引力，这有时被称作“确定性偏向”（certainty bias）。回避这种心理偏向的一种方法是：构造两个均为随机结果的彩票，其中一个的风险相对更高。具体而言，假设选择A彩票将获得40美元或32美元，概率各为50%；选择B彩票将获得77美元或2美元，概率同样各为50%。首先，我们计算二者的期望值：
A彩票：0.5×40+0.5×32=20+16=36.00（美元）
B彩票：0.5×77+0.5×2=38.50+1=39.50（美元）
在此情形中，B彩票的期望值较A彩票高出3.50美元，但也更具风险——从77美元到2美元的收益跨度几乎是A彩票32美元到40美元的收益跨度的10倍。
上述彩票选择出自Holt和Laury（2002）在一次实验中使用的备选菜单。该实验约有200名参与者，来自不同的大学，包括本科生、MBA学生以及商学院教师和系主任。尽管选项B在每个奖项都是等可能的情况下有更高的期望收益，然而，却有84%的参与者选择了相对安全的彩票A，表现出了一定的风险厌恶特征。
在该实验中，实验者使用一枚10面骰子来实现不同收益出现的概率。这使得研究人员能够以1/10的增量来改变高收益的概率。表3-1展示了部分备选菜单，例如，高收益（40美元或77美元）的概率在决策1中为1/10，在决策4中为4/10。注意，决策10是一个理性检验，其中，高收益的概率为1，因此，实质上是在确定性的40美元和77美元之间进行选择。被试需要给出在这10个决策中，自身偏好的选项（A或B），事后将随机选择其中一次决策决定被试的报酬。具体而言，在所有决策全部完成后，将通过10面骰子选定其中一次决策，然后，结合被试的选择（A或B）再扔一次骰子决定这名被试的报酬。这样操作实验流程的优势在于，既获得了被试关于这10种决策的数据，又回避了“财富效应”。不然的话，若被试在一次决策中已经赢得了77美元的报酬，可能将导致其在后续决策中更加乐于冒险。
表3-1 用于评估风险偏好的彩票备选菜单
在表3-2“风险中性”下的第二列和第三列中，列出了每一种选择对应的期望收益。首先看第5行，选项A、B下两种可能收益的概率均为0.5，前面已经计算过，此时两个选项的期望值分别为36美元和39.50美元。其他各行的期望收益计算方法相同，亦是将对应的收益与概率相乘，进而将乘积加总。
当获得高收益的概率仅有0.1时（表3-2的最上面一行），选择安全彩票的期望收益高达32.80美元，而风险彩票仅有9.50美元，最佳决策显而易见。的确，98%的被试在此处选择了安全彩票（选项A）。类似地，在最后一行中，面对一高一低两个确定性收益，所有被试均选择选项B。在每一行中，期望收益更高的选项用粗体表示，其中，前4行选择安全彩票的期望收益更高。根据其定义，风险中性的人只关心期望值而不考虑风险，因此，在菜单上的前4行他们将选择安全彩票。但实际上，被试平均选择了6次安全彩票，而不是4次，表现出了一定的风险厌恶。以表中第6行为例，获得高收益的概率为0.6，多数人选择安全彩票实际上是为了降低风险而放弃了约10美元的期望收益。大约2/3的人在这个决策中做出了安全的选择，而40%的人在决策7中选择了安全彩票。
表3-2 风险中性和风险厌恶者的最优决策
（续）
风险厌恶的直观影响是降低了高收益水平对应的效用，这一点从图3-1“平方根”效用函数的曲率变化上有所体现。对于非线性的效用，个人期望效用（expected utility）的计算方法与期望货币收益的计算方法类似。例如，决策5中的安全选项A有一半的概率得到40美元，另一半的概率得到32美元。回忆前面，收益的期望值（expected value of the payoff）就是把奖金数量和对应概率相乘，再把乘积加总：
期望收益（安全选项）=0.5×40+0.5×32=20+16=36（美元）
把上式中的货币数量替换成其对应的效用，记为 U （40）和 U （32），即可计算选项A的期望效用（expected utility）。若效用函数为平方根函数，则 U （40）=40 1/2 =6.32， U （32）=32 1/2 =5.66。（简化起见，省略了除以（1 -r ）的标准化步骤，在比较标准化口径相同的单位时，这种省略不会产生影响。）由于两种奖金的出现概率相等，计算两个效用的平均值即可，我们得到：
期望效用（安全选项）=0.5 U （40）+0.5 U （32）=0.5×6.32+0.5×5.66=5.99
因此，5.99是安全选项在概率各为0.5时的期望效用，可见于表3-2“风险厌恶”下，“安全彩票”子列中高收益概率为0.5的一行。类似地，对于高低奖金分别为77美元和2美元的风险选项，在这种情况下的期望效用为5.09。全部10个决策的期望效用均列于表3-2右侧的两列。在前6个决策中，安全选项的期望效用更高。因此，理论预测具有上述效用函数的个体将在前6个决策中选择安全选项，在之后4个决策中则选择风险选项。回忆前面，对风险中性个体的理论预测结果是选择4个安全选项，而上述实验数据中被试却平均选择了6个之多。从这个意义上来说，相比于风险中性的线性效用函数，平方根函数更好地拟合了实验数据。
本实验中选择安全彩票的百分比在图3-2中用粗实线表示，且在横轴上标有决策对应的序号。风险中性个体的行为预测由虚线表示，虚线在前4个决策下，位于顶部（100%选择安全选项），到后续6个决策则跳至底部（无人选择安全选项）。代表实际行为的粗实线，大部分位于虚线的上方，这意味着人们倾向于更多地选择安全彩票。当然，在实际选择中存在一定的随机性，这也是为什么粗实线在最左端，也并未达到100%。
图3-2 真实激励（20×）和假想激励下安全选项的占比
资料来源：Holt和Laury（2002）。
在这个真实选择实验（real-choice experiment）之前，还进行了一个假设（hypothetical）选择实验。其中，被试同样完成上述10个决策，不同的是，事先已知不会从中得到报酬。图3-2中灰线即为假设选择实验结果的平均值。灰线位于粗实线的下方，表明在选择不产生实际影响时，风险厌恶的程度相对较低。在真实收益的情况下，安全选择的平均数约为6次；而在假想收益的情况下，安全选择的平均数约为5次。可见，即便没有实际回报，相较于风险中性所预测的4次安全选择，被试仍表现出了些许的风险厌恶特征，但是，他们想象不到面对真实后果时自己的表现。其次，当面对假想激励时，人们倾向于不那么仔细地思考，这将使数据产生噪声（noise）。具体而言，灰线在决策10处稍高于粗实线，（假想激励下）有2%的人选择了确定性的40美元而非确定性的77美元。
是否向被试支付报酬，是实验经济学研究与心理学家在类似问题的研究间的主要区别之一。可参见Hertwig和Ortmann（2001）一项关于心理学实践的备受争议的调查研究，以及后续的30余篇评论和1篇作者回复。现实性是支持假想高收益的一个理由，下面两位杰出的心理学家为使用假想激励所做的辩护引人深思：
实验研究通常涉及人为设计的小额彩票以及对相似问题的大量重复。这些特点使实验结果的解释变得复杂，也限制了研究结果的一般性。当需要检验大量理论问题时，假设选择是所能使用的程序中最简单的一种。它的使用依赖于以下假定：人们通常知道自己在真实情况下会如何行动，被试没有特殊的理由来掩饰自己的真实偏好。（Kahneman and Tversky，1979）
当然，在许多案例记录中，假想和真实的激励下的选择保持一致，但是，当选择涉及风险时，忽视真实激励的必要性并不恰当。此外，使用低赌注（low-stake）的重复任务来研究重要的高赌注（high-stake）决策，其有效性同样值得怀疑。
Holt和Laury的实验设计中有一点非常重要，即该实验允许对收益规模进行大幅度调整，并能够加以检验。由于每个人对风险的态度大相径庭，所以决策在几个不同的规模下进行。通过一轮演练帮助熟悉骰子及其随机选择的过程之后，被试将在一个低收益规模的真实收益备选菜单中完成10次决策。其中，所有的货币数量是表3-1中的1/20，即风险选项对应的收益分别为3.85美元和0.10美元，安全选项对应的收益分别为2.00美元和1.60美元。这种低收益的设计称作“1×”实验局，表3-1中的收益则称为“20×”实验局。其他实验局的设计方式与此近似，均是在低收益的基础上乘以一定的倍数。在初始的低收益选择后，被试还要完成一份假设的（hypothetical）高收益（20×、40×、90×）选择菜单、一份真实的（real）高收益（20×、40×、90×）选择菜单，以及一次真实的1×收益选择。
表3-3 选择安全彩票的平均次数：顺序效应与激励效应
注：上标表示顺序（a表示第一步，b表示第二步，c表示第三步，d表示第四步）。
①结合上下文，此处疑为“40×”，疑原文“50×”有误。——译者注
从表3-3的前两行中可以看出，当面对真实收益时，被试选择安全彩票的平均次数随着收益规模的增加而增加，而假设收益下则无此趋势。最后，注意表中的字母上标，其表示做出决策的顺序（a表示第一步，b表示第二步，等等）。第四位进行的1×实验局（上标为d）得到了平均5.3次的安全选择，而最先进行的1×实验局的结果为5.2次。这种“复归”现象表明决策的顺序并不会影响风险厌恶，这一论断还有待下面的进一步分析。
收益规模的显著影响可见于表3-4，其中展示了17名被试在面对两种高收益（90×）时的选择比例。注意，只有38%
的被试选择了安全彩票，即便该选项的期望收益比风险彩票要少100美元！这些人几乎不愿在高收益下承担任何风险。此外，所有实验局中，实验人员需要到被试桌前投掷骰子来决定报酬，此时，高风险收益的决策显然让人感受到压力和兴奋。对一些人来说，从他们脖子周围皮肤颜色的变化就能看出这一点。
表3-4 高收益规模下的选择比例
Harrison等人（2005）恰当地指出，在Holt和Laury的组内设计中，混合了顺序效应（order effect）和收益规模效应（payoff scale effect）。如第1章所述，当存在序列效应（sequence effect）时，组内设计可能会出现问题。由于实验顺序不同，将导致1×实验局的决策（第一步和最后一步）与其他高收益实验局的决策之间的对比，以及真实与假设的高收益之间的对比（分别在第二步和第三步进行）变得复杂难懂。Harrsion等人的研究结果支持顺序效应的存在。他们发现，如果在1×实验局之后进行10×实验局，安全选项的次数（6.4）比直接进行10×实验局（6.0）略高。虽然我们仍可以根据Holt和Laury的实验中20×到40×再到90×的数据变化来推断收益规模效应（因为顺序是相同的），但是在比较真实和假设收益的影响时，却面临顺序效应的问题。
为了回应上述问题，Holt和Laury（2005）在后续研究中运用了2×2的组间设计——（真实收益、假设收益）×（1×的收益规模、20×的收益规模），如表3-3下半部分所示。每名参与者将先进行一次无报酬的演练（备选项分别是确定性的3美元、1美元与6美元的彩票）。接下来每个人将进入单元格中的四种实验局之一，在对应的菜单上完成选择。因此，所有的决策都是在相同的顺序上展开的。实验结果与之前的研究一致，真实收益从1×提高到20×，导致安全选项的选择次数出现了大幅提高（从5.7到6.7），而在假设收益下增加收益，则观察不到激励效应。
风险厌恶效应： 除了少部分表现出风险中性和风险追逐外，绝大部分被试在面对安全-风险备选菜单时，均表现出风险厌恶的特征。随着实际收益规模的扩大，风险厌恶情绪急剧上升。相比之下，假设收益规模的变化几乎没有影响。
通过观察图3-3中每个决策下安全选择次数的分布，以上结论更加清晰直观，其中，灰线代表假设收益，黑线代表真实的货币收益。当收益规模较低时（细线），是否使用真实的货币并没有太大影响；但是，在高收益规模（粗线）下，认为真实货币无关紧要并不恰当。
图3-3 Holt和Laury（2005）无顺序效应的实验
Harrison、Lau和Rutstrom（2007）采用Holt和Laury的实验流程，选取来自丹麦的253名成年人作为代表性样本（representative sample），估计了他们的风险偏好程度。他们在实验中的收益规模较之于表3-1要高（大约8倍的水平，但是每10人中仅有1人能够获得报酬）。仔细筛选样本的一个优势在于，可以通过实验推断某个国家的社会政策产生了何种影响。以上实验的结论是：丹麦人是风险厌恶的，其相对风险厌恶系数为0.67，这一结果与表3-2中的取值0.5近似。除“中年”“受教育”等特征表现出更弱的风险厌恶外，多数人口统计学变量并没有显著影响。这个备选菜单实验中也没有发现性别效应，可谓风险厌恶实验中的一个特例。多数有关风险厌恶的研究，尽管所用手段各不相同，但是，大多发现女性更加厌恶风险。然而，也正如Nelson（2016）所说，这又涉及证实偏向（conf irmation bias）（先入为主的观念）的问题。此外，在已发表的报告中还可能存在选择性偏向（selection bias）。此外，在不同类型的风险厌恶实验任务中所构建的环境，也可能与性别差异存在交互作用。例如，男女在风险选择时对损失的感知是否不同（更多介绍见后面）。性别效应非常重要，因为这关乎哪些投资建议更适合于女性。在一些关于是否愿意承担风险的调查问卷中，性别效应也确实存在。例如，Dohmen等人（2011）对德国人进行了大规模的抽样调查，发现男性、高个子、受过良好教育的人以及年轻人的风险厌恶程度较弱。
在金融决策的视角下，可以通过安全资产和风险资产之间的投资配置，来推断风险厌恶程度。在始于Gneezy和Potters（1997）的一系列论文中，令被试进行一个明确的投资决策，其中，风险资产的回报率与投资金额无关。例如，一名被试可能被给予一定量资金——10美元，用来在安全资产和风险资产之间任意配置。其中，安全资产能够返还投资额，因此，全部投资安全资产即可最终保留这10美元；而风险资产有一半的概率获得三倍的回报，另一半的概率一无所获。这一示例直观且容易理解。设风险资产投资额为 x ，则预期回报为（1/2）×0+（1/2）×3 x =1.5 x 。因此，投资于风险资产的每一美元都可以获得一份预期净收益，故风险中性和风险追逐的个体会将全部资金投资于风险资产，进而，Gneezy和Potters选取被试在安全资产上的平均投资额作为风险厌恶的一种测度指标。
Eckel和Grossman（2002）在他们关于性别对风险和损失厌恶影响的开创性研究中，也使用了投资组合方法。回想一下，在Gneezy和Potters的实验中，被试实际上可以将初始资金连续地配置于安全资产和风险资产。相反，Eckel和Grossman提供5种彩票，分别对应5种不同的投资比例，供被试选择。在表3-5中，“完全安全”的投资组合即为将全部16美元的初始资金尽数投资于安全资产。表中第二行的选项近似于从安全资产中拿出4美元（只将12美元投资于安全资产）去博取以0.5的概率（另外0.5的概率一无所获）获得三倍回报（4×3=12美元）的机会。结合安全资产和风险资产，此选项的期望收益结果即为以0.5的概率获得12美元（剩余本金），另外0.5的概率获得24美元（本金+投资回报），如表3-5中第二列所示。表格由上到下，投资于风险资产的比例越来越高。投资组合3中两者各半，8美元投资于安全资产，另外8美元有一半的概率获得3倍回报，见表3-5第三行。最后一行中的投资组合5，乃是将全部资金16美元尽数投资于风险资产，以各半的概率获得0美元或者3×16=48美元。由于第二列中每个结果均是等概率的，因此各彩票的预期回报即为每行两个收益数额的平均值。显然，风险中性或风险追逐的人将会全部投资于风险资产（选择投资组合5），以获取最高的期望收益。
表3-5 Eckel和Grossman对投资组合选择的解读
在Eckel-Grossman的实验流程中，被试看到表3-5中的第二列，并在每行的两个选项之中进行选择，因此，对管理者而言更加简单直观。有时，投资选项还会以饼图形式展示。不管哪种方式，实验中都并未给出明确的投资术语，这可能会（也可能不会）增加实验任务的理解难度，但却具备一个独特的优点，即避免令被试们聚焦位于中间的“平均分配”（equal split）投资术语。为了便于和其他实验任务进行对比，CRRA一列中列出了对应每种选择的相对风险厌恶系数 r 。由于风险中性和风险追逐的人一定会选择最后一个期望收益最高的彩票，该实验并不能识别风险中性和风险追逐。
而在损失实验局中，全部收益均减少6美元，这将导致无损失实验局中的收益4美元和0美元由正转负，这在表3-5第二列中用粗体标明。此设计的想法是，被试可能对实际损失（对应于菜单中的负收益）更加敏感。根据这一猜想，被试可能更少地选择带有负收益的选项。同时，损失实验局提供给每名被试6美元的固定出场费，故实际的实验报酬保持不变。以0美元为参照，损失厌恶（对负收益的厌恶）将导致被试更多地选择那些在下降之后收益仍然为正的投资组合，即表中前三行的投资组合。
然而，损失实验局中的投资组合选择与无损失实验局并未发现显著差异（平均数据并未分别展示）。因此，表3-5中展示的是两个实验局的综合数据，仅根据性别做出划分，见于表3-5中最后两列。104名男性被试选择最多的是最后一行的投资组合，而96名女性被试选择最多的是“平均分配”的投资组合。Eckel和Grossman由此得出结论，在实验环境中，观察到的性别差异在统计上和经济上都是显著的。最后，缺少损失实验局之间差异，并不一定构成反对损失厌恶的证据，因为损失实验局中固定的6美元出场费，基本上抵消了所选彩票中的损失。此外，即便无损失实验局中的风险投资组合的收益全部为正，但对比于安全收益（relative to the safe payoff），风险选项仍可能会被视为损失。
以上两种投资任务设计，不论是连续的Gneezy-Potters版本，还是离散选择的Eckel-Grossman版本，都具备一个吸引人的特性：实验的流程简单且只包含独立的单次决策。因此，实验管理者很容易实地开展这些实验任务，这在注重实验速度的情况下意义重大。另一方面，简单化也存在一个潜在的缺点，即对于被试而言，可以很容易地确定期望收益最大化的选择。以表3-5的第二列为例，只需将两个收益量加总即可，该加总的结果在第1行为32美元，第2行为36美元，到最后一行增至48美元。这表明更注重数学的被试可能倾向于选择最后一行中的决策，恰好与风险中性或风险追逐相对应。这也意味着性别效应的研究可能也恰好捕捉到了男女在“计算能力”上的差异，难以将两者区分开来。
不论投资任务是连续的还是离散的，投资任务实验中普遍发现了性别差异（Charness，Gneezy，2012），但是，在表3-1中的备选菜单实验中却并未发现。Filippin和Crosetto（2016）调查了54项应用了Holt-Laury菜单的研究（覆盖超过7000名被试）。其中，仅有在10%左右的研究中发现存在性别效应，且在全部研究的混合数据中，性别效应并不显著。他们得出结论：在那些具有安全回报且概率固定的实验任务（如上述各种投资任务）中，更容易观测到性别效应。安全回报的存在可能会导致风险选项中的低收益在相对意义上被视作一种损失，而男性和女性在面对损失时的选择存在差异。
Binswanger（1980）首次使用了6个离散的投资选项，也就是把定量的现金划分为6种不同比例，投资于安全和风险资产。Holt和Laury（2014）指出，其中，风险资产的回报率不再是固定的（比如3倍），而是在投资量小时回报率高，在投资量大时回报率低。这样做的效果在于，避免了选择向“全部安全资产”或“全部风险资产”堆积。Binswanger通过加入一些期望值更低、风险更大的“独占”选项，使实验能够辨别风险追逐特征。类似地，Eckel和Grossman（2008c）也扩展了备选菜单，加入了“独占”的投资选项。相比于表3-5中最后一行的全部风险资产选项，“独占”选项期望收益更低、风险更大，只有那些风险追逐者才会选择该独占选项。
Cohn等人（2015）将Gneezy-Potters实验室实验中的投资任务，有趣地运用于实地实验中。在实验中，给被试（参加交易会的金融人士）准备了一种特殊的证券（包括其文件资料和价格趋势）。在“景气”实验局中，该证券价格正处于快速上涨的趋势中；而在“萧条”实验局中，证券价格正在经历下跌。投资任务是把300瑞士法郎在安全资产和风险资产之间进行分配（注意，投资任务的术语与实际操作中使用的金融市场术语相近）。实验中重要的是保证简单而快速的实验流程，这样引发效应（effects of priming）就不太可能消失（如果存在的话）。实验的结果是，面对下跌趋势的被试将更多的资金分配给安全资产（55%），而面对景气行情的被试分配的则较少（42%）。
测度风险厌恶的另一个维度是热度（hotness）。有一种气球方法是，在被试面前给气球打气，随着气球越来越大，爆炸的概率也越来越高。如果气球爆炸，被试得到0美元；如果被试选择停止打气，实验收益将由停止时的气球体积决定。尽管对极端的风险追逐的观察可能会被气球爆炸截断，但是，这显然是一个“扣人心弦”的过程。Crosetto和Filippin（2013）开发了一种等效的数值型方法，称作炸弹风险诱出任务（bomb risk elicitation task，BRET）。依照这种方法，共准备100个盒子，被试在其中勾选一定数量的盒子，并知道其中一个放有炸弹。若选中炸弹盒子则收益为零，实验收益与勾选的盒子数量成正比。当实验对象考虑哪些盒子可能会避开炸弹时，实验程序既保留了气球方法的一些亮点，又防止了类似的打断问题。实验可以在静态情境中进行，即被试勾选一定数量的盒子；或者在动态情境中，以每秒1个的速度开启盒子，直到被试按下停止按钮。
考虑一个12个盒子版本的“墨水炸弹”收益，该实验已经被整合进多个Veconlab程序之中。实验说明可见于附录B，该实验说明极其简洁、便于理解。其中的关键内容如下所示。
在你选择完毕后，将在桌上掷一枚12面骰子，每一面上分别标有数字：1、2……12，骰子每一面出现的概率相等。如果选中的数字恰好对应你勾选的盒子，那么，你将在此实验中一无所获。如果选中的数字并不是你所勾选的盒子，那么，你将得到一笔总的收益，该收益等于你一共勾选的盒子数量。
□1 □2 □3 □4 □5 □6 □7 □8 □9 □10 □11 □12
这就类似：每个盒子中装着1美元钞票，而其中一个盒子里有一枚墨水炸弹，一旦打开，将毁掉所有的美元钞票。
可以证明，风险中性的人会勾选一半的盒子。具体而言，令 p 表示勾选的盒子所占比例。相对应地，没有选中炸弹的概率也就等于1 -p 。由于可能的收益与所选盒子数量成正比，于是预期收益与下列乘积成正比： p （1 -p ）。由对称性可知，预期收益在 p =0.5处达到最大值，即，勾选一半盒子时预期收益最大。（或者更正式地说，预期收益 p （1 -p ）的导数为1-2 p ，在 p =0.5处，导数为0。）风险厌恶的人选择的盒子将少于6个，承担更少的风险。而风险追逐的人勾选的盒子将会多于6个，承担更多的风险，以博取获得更高收益的机会。
图3-4对比了墨水炸弹和Holt-Laury菜单中隐含的相对风险厌恶水平。横轴表示选择所对应的风险：墨水炸弹任务中选择盒子的数量；备选菜单中选择风险选项B的次数。两种测度方法都在6这个位置（风险中性，相对风险厌恶系数为0）穿过横轴——选择6个盒子（墨水炸弹）或选择6个风险选项与4个安全选项（Holt-Laury备选菜单）。两条线位置非常紧密，在相对风险厌恶系数为0（风险中性）到0.5（平方根效用函数）的区间段近乎重合。相比之下，炸弹任务更加简单，被试也不容易运用数学捷径，且带有更多的情绪化色彩。
Crosetto和Filippin使用了100个盒子版本的墨水炸弹实验。结果显示被试表现出风险厌恶或风险中性，且厌恶程度随着收益规模而增加，但不存在性别差异。对于性别效应的缺席，他们的解释思路是：标准的投资任务提供了一个确定性收益（安全资产）的选项，因此，被试将风险资产中可能的收益视作了一种损失，如果女性倾向于更厌恶损失，就可能会出现性别差异。他们指出在炸弹任务和Holt-Laury备选菜单中均无确定性的安全选项，因此，也均未观察到性别效应。关于损失厌恶，我们将在下一章中加以讨论。简而言之：
风险厌恶的测度： 投资任务测度方法，不管是离散还是连续的，都具备简单这一优点，尽管数学计算多少是重点。虽然炸弹测量方法同样很容易管理和理解，但是，它在数学上并不一目了然，而且它保留了一些气球任务带来的兴奋感。在投资任务测度方法中，普遍观察到性别效应，而在Holt-Laury备选菜单和墨水炸弹方法中则较少见到。
图3-4 墨水炸弹和Holt-Laury菜单中隐含的相对风险厌恶水平
勾选的盒子和潜在的收益概率存在着数学联系，这样的一个好处在于，能够计算出每一种可能的盒子数所对应的风险厌恶系数。假设效用函数的相对风险厌恶程度不变，即 U （ w ）= w 1 -r /（1 -r ）， w 为货币收入。关于风险厌恶系数 r 和盒子数 x 的关系，推导过程见章末习题9（及相对应的提示）。如果炸弹任务中共有 N 个盒子，那么
注意，如果勾选的盒子数量为总数的一半，即 x = N /2，那么式（3-1）的计算结果为0，即为风险中性。在图3-4中，“墨水炸弹”线对应的纵坐标便是通过式（3-1）计算得到的。
本章使用的效用函数在数学上非常精确，这可能会引起误解。风险厌恶是由多种情绪（恐惧、后悔、谨慎等）共同驱动的，这些因素是无法通过一个简单的公式完全表达出来。此外，风险厌恶因人而异，而且，可能会由于经济或心理事件而发生改变。经济学家常使用简单的函数形式，如，相对风险厌恶不变的幂函数，即便函数中的参数会随着收益规模增加而增加。因此，这类函数形式可能在收益规模保持不变时更加便于比较，但是，当收益规模存在较大差距时，将有可能造成误导。无论如何，重要的是要牢记风险厌恶对应的边际效用递减特征，这一特征在投资、保险和其他类型的经济决策中扮演着相当关键的角色。
有关风险偏好的文献相当多，其中，很多内容本章并无篇幅加以介绍，如效用到底是最终财富还是收入（当前财富的得与失）的函数。在本章中，我们设定效用是关于收入（得与失）而不是最终财富的函数。有相当的实验和理论证据支持这一观点（Rabin，2000；Cox and Vjollca，2001）。下一章还将具体讨论区分得与失的参考点（reference point）。
在广受争议的《风险曲线：期望效用理论的失败案例》（ Risky Curves ： On the Empirical Failure of Expected Utility Theory ）一书中，Friedman等人（2014）认为测度风险厌恶的不同方法之间并没有很强的相关性，也不能很好地预测风险情境下的行为。读者亦可阅读Eckel（2016）对这本书的细致评论。Friedman等人认为，相比于高回报下的风险，人们更重视低回报或负回报下的风险。这一主题将在下一章中关于“上行”和“下行”风险的部分深入分析。此外，Deck等人（2013）发现在Holt-Laury（表格）和Eckel-Grossman（投资任务）这两种风险厌恶测度方法之间存在显著的组内相关性（ p =0.01），相关系数为0.27，但是，两者与更加动态的（“气球”和“是否成交”）任务却不存在相关关系。他们对此的一种解释是，风险偏好可能是多维度的，目前的测度任务并不能将它们完全捕捉。
有时，人们会觉得其他情感可能会主导风险偏好，比如，在资产价格飙升期间进行投机的冲动，可能会削弱人们天生的谨慎。例如，后面的第24章将要介绍到的，测度到的风险偏好与实验中持有的资产份额，在价格泡沫的顶峰处并不存在显著的相关性。另一方面，根据风险厌恶程度进行分组，可以强化分组产生的影响。例如，更加厌恶风险的小组倾向于在拍卖和锦标赛（第12章和第26章）中给出更高的出价。
对风险厌恶测度方法的讨论一直遵循着期望效用理论，该理论假定概率能够被正确感知。在表3-1中，如果对安全选项下概率的感知存在错误，并不会对结果产生太大影响，因为安全选项下两种可能的收益都非常接近；而在右侧的风险选项则相反，对于小概率的高估可能会导致人们选择更加安全的选项，特别是该列最后一行中低概率收益非常低（2美元）的情况。关于交叉点处概率权重的影响，Holt和Laury（2014）进行了考察，可阅读《风险与不确定性手册》（ Handbook of Risk and Uncertainty ）。Drichoutis和Lusk（2016）提出，通过增加另一个备选菜单来辨别概率和效用曲率参数。Comeig、Holt和Jaramillo（2016）就采用了该方法，具体见下一章。另一个问题是，截断备选菜单的其中一端（头或尾）会改变典型“拐点”出现的位置（Holt and Laury，2014）。因此，有观点认为，以定量的形式估计风险厌恶并不准确；相比之下，在保证双方的心理偏向（bias）相同的情况下进行比较，则能够提供更多有价值的信息。此外，类似表3-1的“价目表”菜单在之后各章中还将广泛使用，用于测度模糊厌恶、时间偏好、主观信念等。
基于菜单的风险诱出任务中很重要的一点是，假设在一对彩票之间做出的选择，独立于实际收益由其他选择所决定的概率。Holt（1986）指出，若违背期望效用理论的“独立性”假设，对比将会出现偏差甚至无效。这个行为问题激励Brown和Healy（2018）对以下两种报酬支付方式进行了对比：
（1）随机选择：表格中的20个成对彩票顺序排列，事后从中随机抽选一组决定实验报酬。
（2）单一决策：虽然表中并列有很多组选择，但是固定其中一组作为支付依据。
当面对一次独立决定报酬的选择时，相较于同一组选择位于一张表格中的情形，被试选择风险选项的比例更高。但是，如果由形式（1）转变为多个独立的选择（每次一组，随机顺序，事后随机抽取其一决定报酬），选择的比例并不会出现显著的变化。因此，作者推荐将每组彩票随机地单独呈现，每次一组。
实际中的成对选择表格与表3-1近似，被试应该会在其中的某一行发生单向转变（single switch），即随着表格由上到下，在其中某一行处，选择从安全选项变为风险选项（除非整张表格的选择始终不变）。而值得注意的是，当每组选择以随机的顺序单独呈现时，结果中转变的次数显著增加——称作逆转（reversal）现象。实际上，30%的被试在此时会出现“逆转”，而在整张表格形式下则观察不到“逆转”现象。此外，当选择以随机顺序依次展示时，60名被试中有4人在没有不确定性的选择中，选择了收益更低的选项；而当该选择位于整张表格底部时，没有被试选择低收益的选项。Eckel等人（2005）同样尝试将每对彩票选择依次进行，但最终由于多次交叉而放弃了这一想法。最后一个问题是，如果以表格或者随机顺序展示，被试风险厌恶类型的分布是否会存在显著差异。
Li（2017）近期开发了一种富有吸引力的替代方案，它绕过了对随机选择的需要。第一步（stage），向被试展示两种彩票，被试选择其中之一。之后该选择被“保留”，令被试将它与新的选项（彩票）进行对比。因此，每一步中被试都需要在前一步的“胜者”和新的选项间做出取舍。被试在最后一步中选择的彩票将最终决定实验报酬，因此，这最终规避了随机选择的问题。如Holt和Laury在表3-1中所列示的那样，使用该方法可以完成表格中所有选项间的决策。首先，被试在原表中第1行的选项A和B之间做出选择。如果被试选择了A，那么，在接下来将是第1行的选项A与更优版本（获得高收益的概率更高）的选项A进行第二次选择。此时，被试大概率会选择更优版本的选项A。而再下一个选择的双方将是新的选项A和原表中第2行中的选项B。反之，若被试第一次选择的是选项B，那么，接下来将在该选项B与原表中下一行的（更优版本）选项B中进行选择，以此类推。依照这种方式，实验者可以引导被试按顺序完成选择，亦包括了Holt-Laury表中的全部10对选择。每一次选择都关系到最终收益，因为，若某一选项随后一直胜出的话，便将决定最终收益。这种顺序的、类似于锦标赛形式的方法被称为累积最优选择（accumulative best choice，ABC）法。Li（2017）也通过实验测试了ABC法，认为它的表现优于Holt-Laury表原本使用的方法（从表中随机抽选一行决定实验收益）。具体而言，单独进行并决定收益时的个体选择，与在ABC序列中的个体选择的一致程度，要高于它和置于表格时的个体选择之间的一致程度。
Holt和Laury（2014）认为他们表中的非整数收益形式和多次的对比，能够使被试更难以即刻“看破”“预期收益最大化”的拐点所在，因而更能体现直觉与情感的影响。如前文所述，相比于Holt-Laury表，“炸弹”任务在数学上更加不透明，而0.5等概率的各种投资组合任务则相反（只需将两种备选的投资组合的收益相加）。如果为被试提供少量简单的成对选择（每次一组），那么，可能存在的问题便是，被试可能更依赖于期望价值的直觉推断。若被试依次面对大量的成对选择（计算量过大），这种对期望值的依赖可能会有所减轻。相反地，数量主修课更多的群体（如男性）可能会增强数学计算的影响。例如，Fehr-Duda等人（2011）进行了一个概率感知实验，发现其中40%的男性被试会使用期望值作为一个决策标准，而只有“微乎其微”的女性被试有此行为。如果风险厌恶任务中的期望收益非常容易进行比较，那么可能会降低所观测到的风险厌恶程度，或出现由测度方式导致的性别差异。这种担心也许缺乏根据，但还是要提请那些正在使用和评估风险诱出程序的人们加以注意。
1.对于平方根效用函数，计算表3-1中，决策6的风险彩票的期望效用，并将你的答案与表3-2中的对应条目进行核对。
2.考虑二次效用函数 U （ x ）= x 2 。参照图3-1绘制该函数图形。该函数的边际效用是递增的还是递减的？这一形状是否意味着风险厌恶？
3.通过一堆扑克牌（已经移除带人头的牌）来决定收益，例如，抽到一张梅花2将得到2美元。写出9种
可能的收益及其对应的概率。若已经充分洗牌，那么，从牌堆中抽取一张卡片的期望值是多少？
4.计算表3-4中一对彩票的期望收益。风险中性的人将会选择其中哪个彩票？效用函数为“平方根”形式的人又将作何选择？
5.以下备选菜单中的每一行分别是确定性的收益（左列）和相同概率的彩票（中列），请选择。表格顶部和底部的选择显而易见，请解释。
6.第5题的菜单有时也被称作价目表（price list），请解释这一术语背后的直觉感知。
7.（无须数学证明）如何通过价目表决定一件经济商品的货币价值？当人们被问及愿意为一件商品支付多少钱时，他们提供的金额往往比问及他们愿意为放弃该商品而接受的最低价格要低。这被称为支付意愿/接受意愿偏向（willingness-to-pay/willingness-to-accept bias）。你认为这种心理偏向会影响第5题的价目表中的选择吗？
8.对于第5题的备选菜单，风险中性的人会在第一行选择彩票，又将在第几行转向确定性收益呢？平方根效用函数的人又将如何行动？
9.（墨水炸弹任务中风险厌恶系数的微积分推导）共有 N 个盒子，勾选了其中 x 个，那么，所选盒子中避开炸弹的概率为（ N-x ）/ N ，此时相对应的效用为 x 1 -r /（1 -r ），而收益为0时的效用则是0。于是，期望效用可以被写为收益概率和效用的乘积（ N-x ） x 1 -r /[ N （1 -r ）]。被试已知 N 和 r ，需要决定 x 。通过求解令期望效用的导数（斜率）等于0的 x ，可以实现期望效用最大化。斜率为0出现于平坦的点，类似于一座山的峰顶。求解最优的盒子勾选数量 x 的表达式，它是一个关于 r 的函数。从实验者的角度来看，可以观察到被试的最大化选择 x ，进而推断其风险厌恶系数 r 。因此，下一步通过 x 的最优表达式，将 r 写为 x 的函数，从而验证式（3-1）。