下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
我们将利用动能推导转矩和角加速度间的关系。回想理论力学基础中，外力对某质量所做的功等于其动能的变化。考虑一个作用于圆柱体上的外力
，如图5-3所示。
图5-3 极坐标下，施加在圆柱体上的力
可分解为法向和切向两个分量
假设圆柱体围绕定轴
z
轴转动。如图5-3所示，极坐标系下，施加于圆柱体位置（
r
，
θ
）的力
，可被分解为切向分量
F
T
（与转动方向相切）和法向分量
F
N
，力的表达式为
，这里
是指向
r
轴递增方向的单位向量，
是指向
θ
轴递增方向的单位向量。同理，
分别为指向
x
，
y
，
z
轴递增方向的单位向量。关于某轴的转矩可以用向量积
来表示，这里
是从轴指向施加力的点的向量，
是所施加的力。因此可得
式中，
ψ
是
到
的夹角。回想基础理论力学中，向量积
的大小被定义为
，
的方向沿着转轴垂直于
和
所在平面，正方向则由右手定则
[1]
确定。
为切向分量且
其标量形式为
τ = rF T
我们之所以通过式（5.1）定义转矩是因为此式显示了转动的成因，即与角加速度相关。更具体一点来说，绕轴的转动运动是由所施加力的切向分量 F T 引起的，且所施加的切向力 F T 离转轴越远，转动越容易。也就是说，不管是 r 还是 F T 增加，都会引起转矩（转动的起因）的增加，这也与人的经验一致（比如说开门）。
综上所述，
是一个沿着转轴的向量，其大小为
（回想一下，角速度向量
的指向同样也沿着转轴，这里
ω
是角速率。）
让外力
作用于圆柱体并转动了极小的位移
，则其所做的功可以由下式表达
除以d t 后，可以表示出传送到圆柱体的功率（功的时间导数）为
由于功率等于动能的变化率，因此可以得出
也可以写成
因此可得转矩和角加速度的基本关系为
可以看出，施加的转矩等于转动惯量乘以角加速度。这是刚体绕固定轴转动动力学的基本方程。