5.2 牛顿转动运动定律

我们将利用动能推导转矩和角加速度间的关系。回想理论力学基础中，外力对某质量所做的功等于其动能的变化。考虑一个作用于圆柱体上的外力 ，如图5-3所示。

假设圆柱体围绕定轴 z 轴转动。如图5-3所示，极坐标系下，施加于圆柱体位置（ r ， θ ）的力 ，可被分解为切向分量 F _T （与转动方向相切）和法向分量 F _N ，力的表达式为 ，这里 是指向 r 轴递增方向的单位向量， 是指向 θ 轴递增方向的单位向量。同理， 分别为指向 x ， y ， z 轴递增方向的单位向量。关于某轴的转矩可以用向量积 来表示，这里 是从轴指向施加力的点的向量， 是所施加的力。因此可得

式中， ψ 是 到 的夹角。回想基础理论力学中，向量积 的大小被定义为 ， 的方向沿着转轴垂直于 和 所在平面，正方向则由右手定则 ^[1] 确定。 为切向分量且

其标量形式为

τ = rF _T

我们之所以通过式（5.1）定义转矩是因为此式显示了转动的成因，即与角加速度相关。更具体一点来说，绕轴的转动运动是由所施加力的切向分量 F _T 引起的，且所施加的切向力 F _T 离转轴越远，转动越容易。也就是说，不管是 r 还是 F _T 增加，都会引起转矩（转动的起因）的增加，这也与人的经验一致（比如说开门）。

综上所述， 是一个沿着转轴的向量，其大小为

（回想一下，角速度向量 的指向同样也沿着转轴，这里 ω 是角速率。）

让外力 作用于圆柱体并转动了极小的位移 ，则其所做的功可以由下式表达

除以d t 后，可以表示出传送到圆柱体的功率（功的时间导数）为

由于功率等于动能的变化率，因此可以得出

也可以写成

因此可得转矩和角加速度的基本关系为

可以看出，施加的转矩等于转动惯量乘以角加速度。这是刚体绕固定轴转动动力学的基本方程。 mwIK2GOm3nAylGo9WuWuBzIPzEV+oxpQ+sTcFsgxPUiw0ofQwZQnVeoXojlgkaBW