5.1 转动惯量

本章首先简要回顾刚体定轴转动的运动方程（见图5-1）。

为了得到运动方程，首先计算圆柱体的动能。用 ω 表示圆柱体的角速度，用 ρ 表示圆柱体材料的质量密度。假设圆柱体是由 n （这里的 n 会非常大）个非常小的质元Δ m _i 组成的，其中质元 i 的质量为

Δ m _i = ρr _i Δ θ Δ ℓ Δ r

如图5-2所示，每一个质元Δ m _i 都以相同的角速度 ω 转动，因此Δ m _i 的线速度为 v _i = r _i ω ， r _i 是质元Δ m _i 与转轴之间的距离。所以Δ m _i 的动能 KE _i 可以表示为

则总动能为

如果认为质元质量极小，则Δ m _i →0，且 n →∞。此时，上式中的

可表达为积分形式

J =∫∫∫ _圆柱体 r ² d m

我们将 J 称为转动惯量。通过 J 可以将圆柱体的动能表达为以下形式

取轴半径为0，则圆柱体的转动惯量（假设密度 ρ 为常数）为

式中， M 是圆柱体的总质量。 MnLFoQjc4Vy4CMvj/fJXEUTZp2amxvGeVjy/+uNCRpJiyxhVEq6espgodPa4OLeD