习题

习题1 垂直质量-弹簧-阻尼系统 垂直质量-弹簧-阻尼系统如图4-13所示。

（a）使用牛顿运动定律写下物体 m 的运动方程。

（b）当 f （ t ）=0，计算系统的平衡点 x ₀ 。

（c）令Δ x ≜ x-x ₀ ，使用Δ x 重写运动方程。

习题2 垂直质量-弹簧-阻尼系统

图4-14所示为一个垂直质量-弹簧-阻尼系统，弹簧连接天花板和物体 m ，活塞连接地板和物体 m 。 f （ t ）是外力， m 的位置是 y ， y =0为弹簧松弛。

（a）写出 m 的运动方程，计算输入为 f （ t ）+ mg ，输出为 y （ t ）的传递函数。传递函数的初始条件为零。

（b）当 f （ t ）=0时，计算物体 m 的平衡位置 y ₀ 。

（c）令Δ y = y-y ₀ ，且 f （ t ）≠0，根据距离平衡点的位置Δ y ，重写运动方程。计算输入为 f （ t ），输出为Δ y （ t ）的传递函数。传递函数的初始条件为零。

（d）当 m =2kg， b =4N/（m/s）， k =16N/m， f （ t ）=2 u _s （ t ）时，Δ y （ t ）是否有终值？简要解释。如果有终值，则使用终值定理进行计算。

（e）对本系统进行仿真模拟。实现仿真框图并画出零初始条件下的Δ y （ t ）。Δ y （ t ）的终值是否和（d）中一致？

习题3 运动质量-弹簧-阻尼系统

如图4-15所示，在一个卡车的后面加上了质量-弹簧-阻尼系统，其中卡车的位置 x 是输入，质量 m 的位置 y 是输出。

（a）求出物体 m 的运动方程。

（b）计算从输入 x （ t ）到输出 y （ t ）的传递函数。

（c）假设 m =2kg， b =4N/（m/s）， k =16N/m，令输出为

y （ t ）是否具有终值？解释为什么具有或为什么不具有。如果它确实有一个终值，就用终值定理来计算它。

（d）对该系统进行Simulink仿真。打印出Simulink示意图，以及将初始条件设置为0的 x （ t ）和 y （ t ）的图。 y （ t ）是否满足（c）中找到的终值？

习题4 垂直质量-弹簧-阻尼系统

考虑图4-16中的质量-弹簧-阻尼系统。令减振器活塞的质量为 m _p ，之后会让它趋于0。

（a）写下这个质量-弹簧-阻尼系统的运动方程。

（b）找到这个系统的平衡点（ x ₀₁ ， x ₀₂ ）。

（c）重写由 y ₁ 和 y ₂ 表示的运动学方程，如下

y ₁ = x ₁ -x ₀₁

y ₂ = x ₂ -x ₀₂

（d）令 m _p =0，进一步令 y ₂ （0）= =0， y ₁ （0）=0，但 是任意的。计算 Y ₁ （ s ）。

（e）对该系统进行Simulink仿真。令 M =2kg， b =4N/（m/s）， k ₁ =16N/m， k ₂ =16N/m。打印出Simulink示意图，以及 y ₂ （0）= =0， y ₁ （0）=（0）， =1时 y ₁ （ t ）和 y ₂ （ t ）的图。

习题5 车轮部件的质量-弹簧-阻尼模型 ^[1]

如图4-17所示，这是一个附在车身上的车轮模型。 m ₂ 为车轮部件的质量，弹簧 k ₂ 表示轮胎与车轮部件连接处的灵活性。用弹簧 k ₁ 和减振器 b 将车轮部件和车身连接。 m ₁ 是该部件悬挂的车身部分的质量。输入（干扰）是 x ，它是在某个固定位置上方的道路的高度，输出 x ₁ 是车身的位置。通常来说，如果 x = x ₂ ，弹簧 k ₂ 是松弛的，而当 x ₁ = x ₂ 时，弹簧 k ₁ 是松弛的。

（a）写出运动方程。

（b）当输入 x =0时，找到该系统的平衡点（ x ₀₁ ， x ₀₂ ）。

（c）令

y ₁ ≜ x ₁ -x ₀₁

y ₂ ≜ x ₂ -x ₀₂

求由 y ₁ 和 y ₂ 表示的运动学方程。

（d）计算从输入 x 到输出 y 的传递函数。

（e） m ₁ =100， m ₂ =10， b =1， k ₁ =16， k ₂ =16， x （ t ）=0.1 u _s （ t ）且具有零初始条件的情况下，对系统进行Simulink仿真。打印出仿真示意图和 y ₁ （ t ）的图。

习题6 水平质量-弹簧-阻尼系统

图4-18所示为一个水平质量-弹簧-阻尼系统。

（a）用牛顿运动定律，写出两个物体 m ₁ 和 m ₂ 的运动方程。

（b）计算从输入 f （ t ）到输出 x ₂ （ t ）的传递函数。

（c） m ₁ =4， m ₂ =2， b =4， k ₁ =16， k ₂ =16， f （ t ）=8 u _s （ t ）且具有零初始条件的情况下，对系统进行Simulink仿真。打印出仿真示意图和 x ₁ （ t ）及 x ₂ （ t ）的图。

习题7 垂直质量-弹簧-阻尼系统

图4-19所示为一个垂直质量-弹簧-阻尼系统。

（a）用牛顿运动定律，写出两个物体 m ₁ 和 m ₂ 的运动方程。

（b）当 f （ t ）=0时，找到该系统的平衡点（ x ₀₁ ， x ₀₂ ）。

（c）重写（a）中的运动方程，用 y ₁ 和 y ₂ 表示为

y ₁ = x ₁ -x ₀₁

y ₂ = x ₂ -x ₀₂

（d） m ₁ =10， m ₂ =2， b =1， k ₁ =16， k ₂ =16， f （ t ）= u _s （ t ）且具有零初始条件的情况下，对系统进行Simulink仿真。打印出仿真示意图和 y ₁ （ t ）及 y ₂ （ t ）的图。

习题8 终值定理

在例5中，我们展示了图4-7所示系统的传递函数为

回想一下， Y （ s ）是弹簧左侧的位置（输入），而 X （ s ）是物体 m 的位置（输出）。令 m =2kg， b =4N/（m/s）， k ₁ = k ₂ =16N/m。

（a）使用MATLAB计算 G （ s ）的极点。 G （ s ）是否稳定？

（b）令 Y （ s ）= y ₀ / s 为阶跃输入。可否用终值定理来计算lim _{t →∞} x （ t ）？如果可以，请进行计算，如果不能，请解释为什么。

（c）例5中的结果表明

（ m _p s ² + bs + k ₁ ） Z （ s ）= bsX （ s ）+ k ₁ Y （ s ）

或（设置 m _p =0）

可否用终值定理来计算 ？如果可以，请进行计算，如果不能，请解释为什么。

（d）对（b）和（c）中的答案进行实际解释。

习题9 直流电动机仿真

描述直流电动机的微分方程为

参数为 J =6×10 ^-5 kg/m ² ， K _T = K _b =0.07Nm/A（V/rad/s）， f =0.4×10 ^-3 Nm/rad/s， R =2Ω， L =0.002H， V _max =40V， I _max =5A。对于一个阶跃输入电压，设置 V _S =10V，对于一个斜坡输入电压，设置 V _S （ t ）= t 。将开始时间设置为0，停止时间设置为0.2s。使用固定步长为0.001s的欧拉积分。Simulink框图如图4-20所示。

其中，Saturation模块可以在Simulink库中的Discontinuities文件夹中找到。如果双击这个模块，会出现如图4-21所示的对话窗口。

Manual switch模块可以在Simulink库中的Signal Routing文件夹中找到。

（a）创建一个后缀名为.m的MATLAB文件，命名为DC_sim_data.m，内容为所有的参数。

（b）创建一个后缀名为.slx的Simulink文件，命名为DC_sim.slx，内容为图4-20的框图。

（c）运行仿真，将开始时间设置为0，停止时间设置为0.2s，使用固定步长为0.001s的欧拉积分。

（d）在仿真调试后，添加一个To File到Simulink模块中（在库里的Sinks文件夹中），用于存放输入电压、电流、速度和位置。

（e）针对阶跃输入的情况，打印.m文件、Simulink框图的截屏（类似于图4-20），以及每个存储的变量相对于时间的MATLAB图。

注意 图4-20的仿真框图没有使用 I _max 。通常来说，会在放大器内部放置一个电流传感器来起到保护作用。如果电流的大小超过 I _max ，该放大器会立即关闭。

习题10 稳定微分方程的仿真

在第3章中，我们使用相量法求微分方程的一个解。

以及

相量解用 x _ph （ t ）=| G （j ω ）| U ₀ cos（ ωt +∠ G （j ω ））表示。这实际上是在初始条件下对式（4.13）的唯一解，则

当 G （ s ）稳定时， x _ph （ t ）也是稳态解，也就是对于任意初始条件 x （ t ）→ x _ph （ t ）。图4-22所示为系统的Simulink框图。要运行仿真，首先需要运行内容如下的.m文件。

要实现输入 U ₀ cos（ ωt ），需要打开Sine Wave模块的对话框（标记为U0cos（ωt）），并如图4-23所示进行填写。

为了实现输入相量解| G （j ω ）| U ₀ cos（ ωt +∠ G （j ω ）），打开Sine Wave模块的对话框（标记为|G（jω）|U0cos（ωt+∠G（jω））），并如图4-24所示进行填写。

（a）实现此仿真并运行15s，利用输出示波器生成绘图。

（b）将初始条件设置为0并运行15s，利用输出示波器生成绘图。

习题11 不稳定微分方程的仿真

这个问题与习题10相似，除了有一个不稳定的微分方程。在第3章，我们使用相量法求微分方程的一个解。

以及

相量解用 x _ph （ t ）=| G （j ω ）| U ₀ cos（ ωt +∠ G （j ω ））表示。这实际上是在初始条件下对式（4.14）的唯一解，则

当 G （ s ）不稳定时，没有稳态解，也就是对于任意初始条件 。为了仿真该系统，对习题10的Simulink仿真进行修改。特别的是，需要运行内容如下的.m文件。

（a）在Simulation/Model Configuration Parameters对话框中，确保固定步长为0.001。运行时间为10s。利用输出示波器生成绘图。应该可以看到，仿真在大约5s的时候开始偏离相量解。

（b）在Simulation/Model Configuration Parameters对话框中，修改固定步长为0.0001。运行时间为10s。利用输出示波器生成绘图。应该可以看到，仿真在大约10s的时候开始偏离相量解。

注意 | G （j ω ）| U ₀ cos（ ωt +∠ G （j ω ））是具有初始条件（4.15）和（4.16）的式（4.14）的解。然而，由于微分方程的数值积分并不精确，Simulink的解偏离了| G （j ω ）| U ₀ cos（ ωt +∠ G （j ω ））。因此，输出响应包含对应于无界增长的传递函数的不稳定极点项。如（b）所示，即使步长很小，积分仍然不精确，并且在Simulink中，这个不稳定微分方程的数值计算输出响应再次趋于无界。 gIUU0f9HCQ6IUdTzePzGKccnMzwpPZNslJzm8RjSRA17wx4LQ+3LdvCE/XrPUiCZ