4.3 仿真

有一个一阶微分方程组：

在数字计算机上实现此方程，就需要将其转换为离散时间。用 x （ kT ）和 u （ kT ）表示 kT 时刻 x （ t ）和 u （ t ）的值。使用后向差分估计（ k +1） T 时刻的导数

然后取系统的离散时间形式如下

重新排列得

x （（ k +1） T ）=（1 -aT ） x （ kT ）+ Tbu （ kT ）

x （0）= x ₀

例如，假设 x ₀ =1， u （ t ）=cos（ t ）则

该递归离散时间模型用于在数字计算机上实现连续时间系统。

以输入 u 为单位阶跃输入，该系统的Simulink框图如图4-8所示。

当仿真运行时，Simulink将框图转换为离散时间形式并运行程序。输入 u 为单位阶跃输入， u 上方为Simulink库的常数模块，其中为“1”。虽然使用了1/ s 模块（积分器），但仿真仍是一个时域过程。模块应当使用积分符号∫，但常用1/ s 表示。

在拉普拉斯域中（假设零初始状态下）为

Simulink框图如图4-9所示。

Simulink随后将其转换为

x （（ k +1） T ）=（1 -aT ） x （ kT ）+ Tbu （ kT ）

然后在数字计算机上生成C代码。当使用传递函数的时候，Simulink假设初始条件为零。

在这两例中， u 作为单位阶跃输入，“1”被放入Simulink库中的constant模块，则 u （ kT ）=1（ k =0，1，2，…）。

图4-10所示为例1中的水平弹簧质点系统的仿真框图。此框图的左上角显示了已选择的Simulation值。右侧是DEBUG和MODELING。单击MODELING，选择后单击Model Settings打开Configuration_Parameters对话框，如图4-11所示。

在图4-11的Simulation time模块中，已设置Start time：0.0和Stop time：10（s）。注意Solver options设置为Type：fixed-step，Solver：ode1（Euler），Fixed-step size（fundamental sample time）：0.001（s）。图4-10的垂直黑色条为Mux模块，可以在Simulink库的Signal Routing中找到。双击To File模块可以打开如图4-12的对话框。数据存储在名为output.mat的MATLAB数据文件中。这个文件中的数据被称为outputdata，是由三行数组（矩阵）组成的，第一行为时间，第二行为位置 x ，第三行为输入力 f 。

在运行Simulink文件之前，请运行如下MATLAB程序：

运行Simulink程序，随后转到MATLAB运行以下程序绘制数据。