4.2 质量-弹簧-阻尼系统建模

例1 水平质量-弹簧-阻尼系统

质量-弹簧-阻尼系统如图4-2所示。

若 x =0，则弹簧既不压缩也不拉伸。在这种情况下，弹簧是松弛的。弹簧对物体 m 产生的力为

F _mk = -kx

注意，当 x >0，弹簧将 m 向左拉；当 x <0，弹簧将 m 向右推。

由图4-2b的阻尼器横截面可知，阻尼器是由充满黏性流体的密闭气缸和气缸中的活塞共同组成的。如果活塞要移动，必须使流体从外面移动到另外一边，阻尼器作用于 m 上的力与其速度 x .成正比

注意，当 ，物体 m 随气缸向右移动，活塞在 -x 方向上提供阻力以抵抗运动。同样，当当 ，物体 m 随气缸向左移动，活塞在+ x 方向上提供阻力以抵抗运动。这种阻力和速度成正比的阻尼器的力被称为黏性摩擦力。

f （ t ）为外力，运动方程为

重新排列，即

进行零初始条件下的拉普拉斯变换，为

（ ms ² + bs + k ） X （ s ）= F （ s ）

或

当初始条件不为零时，则

例2 垂直质量-弹簧-阻尼系统

图4-3所示为悬挂在天花板下的垂直质量-弹簧-阻尼系统。

运动方程为

重新排列，即

进行零初始条件下的拉普拉斯变换，为

或

当初始条件不为零时，则

平衡条件

假设 f （ t ）=0，则运动方程为

当平衡时，物体 m 处于静止状态（不移动），则 。在平衡状态下有

kx ₀ = mg

或物体所在位置描述为

意为弹簧必须被拉伸以产生一个向上的力来克服重力。

平衡点的运动方程

令

Δ x = x-x ₀

将 x =Δ x + x ₀ 代入式（4.8）中，则有

重新排列，即

最终可以得到

所以在平衡点位置的运动方程中，会消去重力项。但如图4-4所示，这个方程的解Δ x 是相对于平衡位置的。

通常书籍将图4-3中的 x 的参考位置视为平衡位置，则运动方程可以简化为

但是要关注 x 的意义。

例3 具有两个物体的质量-弹簧-阻尼系统

在图4-5中，物体 M 和 m 由弹簧和阻尼器连接。

将外力 f （ t ）视为输入，位置 y 视为输出。

M 和 m 的参考位置是 x 和 y 。当 x = y 时，弹簧是松弛的（既不压缩也不拉伸）。所以弹簧作用在 m 上的力 F _mk 和作用在 M 上的力 F _Mk 分别如下

F _mk = -k （ y-x ）

F _Mk =+ k （ y-x ）

也就是说，若 y-x >0，则弹簧在 -y 方向拉 m ，在+ x 方向拉 M 。

阻尼器作用于 m 和 M 上的力 F _mb 和 F _Mb 可以由两物体之间的相对速度 表示为

当 时，气缸向右移动的速度比活塞快，因此活塞在气缸（还有物体 m ）上产生阻力，阻止其向右运动。在相同的条件下，气缸也会向右拖动活塞（还有物体 M ）。

运动方程为

或

重新排列，即

对上式进行零初始条件下的拉普拉斯变换有

（ ms ² + bs + k ） Y （ s ）=（ bs + k ） X （ s ）

（ Ms ² + bs + k ） X （ s ）=（ bs + k ） Y （ s ）+ F （ s ）

由于输入为 f （ t ），输出为 y （ t ），所以消去上两式中的 X （ s ）。求解第一个式子中的 X （ s ），代入第二个式子，可以得到

解出 Y （ s ）如下

（ Ms ² + bs + k ）（ ms ² + bs + k ） Y （ s ）=（ bs + k ） ² Y （ s ）+（ bs + k ） F （ s ）

或

例4 具有无质量点的质量-弹簧-阻尼系统

图4-6所示为一个质量-弹簧-阻尼系统。 A 点为活塞和弹簧的连接点，可以作为 y 的参考位置。将 f （ t ）作为输入，将 A 点的位置 y 作为输出。

A 点没有质量，但可以使用牛顿方程解决本问题。首先认为 A 点有小质量 m _A ，建立完方程后使 m _A →0，则

或

使 m _A →0，并且对上式进行零初始条件下的拉普拉斯变换有

（ ms ² + k ） X （ s ）= kY （ s ）+ F （ s ）

（ bs + k ） Y （ s ）= kX （ s ）

由于 y 为输出，则消除 X （ s ）有

或

（ ms ² + k ）（ bs + k ） Y （ s ）= k ² Y （ s ）+ kF （ s ）

或

例5 位置输入和无质量点

在图4-7中，质量-弹簧-阻尼系统的输入为位置 y ，输出为物体 m 的位置 x 。弹簧 k ₁ 的右侧没有物体，所以用 m _p 表示与弹簧相连的活塞的质量。随后使 m _p →0。

以 z 表示活塞的位置，当 y = z 时，弹簧为松弛状态。阻尼器的活塞和气缸之间的相对速度为 。

m 和 m _p 的运动方程为

或

由于 y 为输入， x 为输出，则取上述方程的拉普拉斯变换为

（ ms ² + bs + k ₂ ） X （ s ）= bsZ （ s ）

（ m _p s ² + bs + k ₁ ） Z （ s ）= bsX （ s ）+ k ₁ Y （ s ）

消除 Z （ s ），有

或

（ m _p s ² + bs + k ₁ ）（ ms ² + bs + k ₂ ） X （ s ）= b ² s ² X （ s ）+ k ₁ bsY （ s ）

使 m _p =0，解出 X （ s ）有 acVdQqGNxTWOxKlo315vK8qMzS3b1dRjLJ67/Vb3J4bDnDWTOVeDT5B0K55twVKm