习题

习题1 微分方程

使用拉普拉斯变换求解初始条件 x （0）=1， 的微分方程

使用MATLAB检查计算结果。

习题2 微分方程

使用拉普拉斯变换求解初始条件 x （0）=-1， 的微分方程

使用MATLAB检查计算结果

习题3 拉普拉斯变换和终值定理

有

（a）使用部分分式展开法求解 f （ t ）= L ^-1 { F （ s ）}，使用MATLAB检查结果。

（b）是否可通过终值定理求解lim _{t →∞} f （ t ）？若可行，计算并解释原因。若不可行也解释原因。

习题4 拉普拉斯变换

有

（a）求解 f （ t ）= L ^-1 { F （ s ）}。

（b）是否可通过终值定理求解lim _{t →∞} f （ t ）？若可行，计算并解释原因。若不可行也解释原因。

习题5 微分方程

有微分方程

（a）计算这个微分方程的传递函数。

（b）假设零初始条件， u （ t ）= u _s （ t ）为阶跃信号，利用拉普拉斯变换的部分分式展开法求解微分方程。使用MATLAB检查结果。

（c）是否可通过终值定理求解lim _{t →∞} y （ t ）？若可行，计算并解释原因。若不可行也解释原因。

习题6 拉普拉斯变换

有

（a）使用部分分式展开法求解 f （ t ）= L ^-1 { F （ s ）}。使用MATLAB检查结果。

（b）是否可通过终值定理求解lim _{t →∞} f （ t ）？若可行，计算并解释原因。若不可行也解释原因。

习题7 微分方程

有微分方程

（a）计算这个微分方程的传递函数。

（b）假设零初始条件， u （ t ）= u _s （ t ）为阶跃信号，利用拉普拉斯变换的部分分式展开法求解微分方程。使用MATLAB检查结果。

（c）是否可通过终值定理求解lim _{t →∞} y （ t ）？若可行，计算并解释原因。若不可行也解释原因。

习题8 传递函数和稳定性

某系统的微分方程如下

其传递函数为

（a）这个传递函数稳定吗？请做出解释。

（b）当 U （ s ）=1/ s ， X （ s ）如下

是否可通过终值定理求解lim _{t →∞} x （ t ）？若可行，计算并解释原因。若不可行也解释原因。

（c）当 ， X （ s ）如下

是否可通过终值定理求解lim _{t →∞} x （ t ）？若可行，计算并解释原因。若不可行也解释原因。

习题9 微分方程

有阶跃响应 u _s （ t ），初始条件 x （0）=1的微分方程：

（a）使用拉普拉斯变换求解。

（b）当微分方程为

求系统的传递函数 G （ s ）= X （ s ）/ U （ s ）。

（c）在问题（b）的回答中使 u （ t ）= u _s （ t ）， u _s （ t ）为阶跃信号，则

是否可通过终值定理求解lim _{t →∞} x （ t ）？若可行，计算并解释原因。若不可行也解释原因。

习题10 相量法

有三阶微分方程：

使

其中

（a）计算该系统的传递函数 G （ s ）。

（b） u （ t ）≜ U ₀ e ^{j ωt} 作为上述微分方程的输入可以使 y （ t ）= A e ^{j ωt} ，证明 A = U ₀ G （j ω ）是 y （ t ）的一个解。证明

y （ t ）=Re{ y （ t ）}=Re{ A e ^{j ωt} }=| G （j ω ）| U ₀ cos（ ωt + θ ₀ +∠ G （j ω ））

是式（3.32）在式（3.33）作为输入时的一个解。

习题11 相量求解法和正弦稳态求解法

有微分方程

其输入为

u （ t ）= U ₀ cos（ ωt ）对于-∞< t <∞

为了求解该方程，首先考虑复值输入 u （ t ）= U ₀ e ^{j ωt} 。注意

u （ t ）=Re{ u （ t ）}=Re{ U ₀ e ^{j ωt} }= U ₀ cos（ ωt ）

（a） u （ t ）作为微分方程的输入， A 是一个复常数，证明以下形式的解可行：

x （ t ）= A e ^{j ωt}

写出求解 A 的详细步骤。

（b） A 和微分方程的传递函数 G （ s ）= X （ s ）/ U （ s ）是什么关系？

（c）使用 ω =2计算当 x （ t ）=| G （j2）| U ₀ cos（2 t +∠ G （j2））时式（3.34）的相量解。当 u （ t ）= U ₀ cos（2 t ） u _s （ t ）， x （ t ）=| G （j2）| U ₀ cos（2 t +∠ G （j2）） u _s （ t ）是式（3.34）在 t ≥0的一个解，初始条件 x （0）有一个特定的值，求出这个值。

（d）当输入为 u （ t ）= U ₀ cos（2 t ） u _s （ t ），你在（c）中的回答是否为正弦稳态解？请解释为什么是或者为什么不是。提示： G （ s ）是否稳定？

习题12 相量求解法和正弦稳态求解法

某系统由如下传递函数定义：

（a）当输入 r （ t ）=10cos（3 t ）对于-∞< t <∞，计算相量解。

（b）当 c （0）=0，使用相量求解法求解输入为 r （ t ）=10cos（3 t ） u _s （ t ）时，系统的正弦稳态响应。提示： G ₁ （ s ）是否稳定？

（c）当 c （0）=10，使用相量求解法求解输入为 r （ t ）=10cos（3 t ） u _s （ t ）时，系统的正弦稳态响应。提示：参考（a）中的回答。

（d）令 ，输入仍为 r （ t ）=10cos（3 t ） u _s （ t ）。当 c （0）=0时，求解系统的正弦稳态响应。提示：无需进行计算。

习题13 相量法

有微分方程

其输入为

u （ t ）= U ₀ cos（ ωt ）对于-∞< t <∞

令

u （ t ）= U ₀ e ^{j ωt}

于是

u （ t ）=Re{ u （ t ）}=Re{ U ₀ e ^{j ωt} }= U ₀ cos（ ωt ）

（a）当 u （ t ）为上述微分方程的输入，证明以下形式的解可行：

x （ t ）= A e ^{j ωt}

写出求解 A 的详细步骤。

（b） A 和微分方程的传递函数 G （ s ）= X （ s ）/ U （ s ）是什么关系？

（c）参考（a）和（b）中的回答，给出其输入为 u （ t ）= U ₀ cos（ ωt ）时的相量解表达式。

（d）假设在 t =0时，启动输入为 u （ t ）= U ₀ cos（ ωt ） u _s （ t ）的系统。当 G （ s ）为什么条件时，其相量解为正弦稳态解。

习题14 正弦稳态响应

系统为

其传递函数为

（a） G ₁ （ s ）是否稳定？

（b）当输入为 u （ t ）≜10cos（4 t ） u _s （ t ）时，则

使用相量法求解。这个解是系统的正弦稳态解吗？请简要解释。

（c）系统为

其传递函数为

G ₂ （ s ）是否稳定？

（d）对于（c）中的系统，当输入为 u （ t ）≜10cos（4 t ） u _s （ t ）时，则

使用相量法求解。这个解是系统的正弦稳态解吗？请简要解释。

习题15 稳定性

则

Y （ s ）= G （ s ） U （ s ）

式中， G （ s ）为系统的传递函数。

（a）从微分方程计算 G （ s ）。

（b）令 ，如 u （ t ）= U ₀ cos（ ωt ） u _s （ t ）。| G （j ω ）| U ₀ cos（ ωt +∠ G （j ω ）） u _s （ t ）是上述微分方程的解吗？请简要解释。无需进行计算。

（c）令 U （ s ）=1/ s ，如 u （ t ）= u _s （ t ）。 y （ t ）是上述微分方程具有任意初始条件的解，下式是否正确？请简要解释。

（d）令 ，如 u （ t ）= U ₀ cos（ ωt ） u _s （ t ）。 y （ t ）是任意初始条件下对应的解，下式是否正确？请简要解释。

y （ t ）→| G （j ω ）| U ₀ cos（ ωt +∠ G （j ω ））对于 t →∞

（e）令 U （ s ）=1/ s ² ，如 u （ t ）= tu _s （ t ）。 y （ t ）是上述微分方程在零初始状态下的解，下式是否正确？请简要解释。

习题16 稳定性

则

Y （ s ）= G （ s ） U （ s ）

式中， G （ s ）为系统的传递函数。

（a）从微分方程计算 G （ s ）。

（b）令 ，如 u （ t ）= U ₀ cos（ ωt ） u _s （ t ）。| G （j ω ）| U ₀ cos（ ωt +∠ G （j ω ）） u _s （ t ）是上述微分方程的解吗？请简要解释。无须进行计算。

（c）令 U （ s ）=1/ s ，如 u （ t ）= u _s （ t ）。 y （ t ）是上述微分方程具有任意初始条件的解，下式是否正确？请简要解释。

（d）令 ，如 u （ t ）= U ₀ cos（ ωt ） u _s （ t ）。 y （ t ）是任意初始条件下对应的解，下式是否正确？请简要解释。

y （ t ）→| G （j ω ）| U ₀ cos（ ωt +∠ G （j ω ））对于 t →∞

（e）令 U （ s ）=1/ s ² ，如 u （ t ）= tu _s （ t ）。 y （ t ）是上述微分方程在零初始状态下的解，下式是否正确？请简要解释。

习题17 稳定性

使

Y （ s ）= G （ s ） U （ s ）

式中， G （ s ）为系统的传递函数。

（a）从微分方程计算 G （ s ）。

（b）令 ，如 u （ t ）= U ₀ cos（ ωt ） u _s （ t ）。下式总是微分方程的解吗？请简要回答。

| G （j ω ）| U ₀ cos（ ωt +∠ G （j ω ）） u _s （ t ）

（c）令 U （ s ）=1/ s ，如 u （ t ）= u _s （ t ）。 y （ t ）是上述微分方程具有任意初始条件的解，下式是否正确？请简要解释。

（d）假设 G （ s ）稳定， U （ s ）=1/（ s ² +1），如 u （ t ）=sin（ t ） u _s （ t ）。 y （ t ）是上述微分方程在零初始状态下的解，下式是否正确？请简要解释。

（e）令 ，如 u （ t ）= U ₀ sin（2 t ） u _s （ t ）。假设 G （ s ）如下

使 Y （ s ）= G （ s ） U （ s ），lim _{t →∞} y （ t ）=lim _{s →0} sY （ s ）是否正确？请简要解释。

习题18 稳定性

则

Y （ s ）= G （ s ） U （ s ）

式中， G （ s ）为系统的传递函数。

（a）从微分方程计算 G （ s ）。

（b）令 ，如 u （ t ）= U ₀ cos（ ωt ） u _s （ t ）。下式总是微分方程的解吗？请简要解释。

| G （j ω ）| U ₀ cos（ ωt +∠ G （j ω ）） u _s （ t ）

（c）令 U （ s ）=1/ s ，如 u （ t ）= u _s （ t ）。 y （ t ）是上述微分方程具有任意初始条件的解，下式是否正确？请简要解释。

（d）令 ，如 u （ t ）= U ₀ cos（ ωt ） u _s （ t ）。在 t →∞时，下式是否一直正确？请简要解释。

y （ t ）→| G （j ω | U ₀ cos（ ωt +∠ G （j ω ）） u _s （ t ）

（e）令 U （ s ）=1/ s ，如 u （ t ）= u _s （ t ）。 y （ t ）是上述微分方程在零初始条件下的解，下式是否正确？请简要解释。

习题19 当 a ₁ >0 且 a ₀ >0 时 ， s ² + a ₁ s + a ₀ 稳定

使用求根公式证明，当 a ₁ >0且 a ₀ >0时，以下多项式方程的解在左半开平面中：

s ² + a ₁ s + a ₀ =0

习题20 稳定性检验 ^[12]

尽量在不使用劳斯-赫尔维茨稳定性判据和解出根的情况下判断多项式的稳定性。若无法直接判断，则使用劳斯-赫尔维茨稳定性判据。

（a） s ³ + s +2

（b） s ⁴ + s ² +1

（c） s ⁴ -1

（d） -s ² -2 s -2

（e） -s ³ -2 s ² -3 s -1

（f） s ³ +2 s ² +3 s +1

（g） s ³ +2 s ² +3 s -1

习题21 劳斯-赫尔维茨检验 ^[12]

当α为何值时，多项式 s ³ + s ² + αs +1稳定。

习题22 劳斯-赫尔维茨检验 ^[12]

当α为何值时，多项式 s ³ + s ² + s + α 稳定。

习题23 劳斯-赫尔维茨稳定性判据 ^[12]

有

a （ s ）= s ³ +（14 -K ） s ² +（6 -K ） s +79-18 K

求解使 a （ s ）稳定的 K 的取值范围。

习题24 终值定理

求解 x （ t ）的终值，其终值是一个关于 K 的函数。

习题25 终值定理

求解 c （ t ）的终值，其终值用 R ₀ 和 K 来表示。

习题26 劳斯-赫尔维茨稳定性判据

a （ s ）= s ³ +2 s ² + s +2

使用劳斯-赫尔维茨稳定性判据计算 a （ s ）是否稳定。

习题27 劳斯-赫尔维茨稳定性判据

a （ s ）= s ⁴ +2 s ³ +5 s ² +4 s +6

使用劳斯-赫尔维茨稳定性判据计算 a （ s ）是否稳定。

习题28 劳斯-赫尔维茨稳定性判据

当 K 为何值时，使下式所有根都在左半平面内：

a （ s ）= s ³ +5 s ² +（5 K +6） s +3 K =0

习题29 劳斯-赫尔维茨稳定性判据

（a）当 K 为何值时， G （ s ）稳定。

（b）有 R （ s ）= R ₀ / s ，令

当 K 为何值时，使 e （ t ）→0。

习题30 最终误差

并且 D （ s ）= D ₀ / s ，有

当 K 为何值时，可使 e （∞）lim _{t →∞} e （ t ）=0。

习题31 劳斯-赫尔维茨稳定性判据

当 K 为何值时，可使 G （ s ）稳定。

习题32 劳斯表中某行元素全为0

当 K 为何值时，可使 G （ s ）有j ω 轴上的根，这些根为何值。

习题33 劳斯表中某行元素全为0

a （ s ）= s ⁴ +2 s ³ +5 s ² +4 s +6

求解 a （ s ）在j ω 轴上的根。

习题34 劳斯表中某行元素全为0

a （ s ）= s ³ +2 s ² + s +2

求解 a （ s ）在j ω 轴上的根。

习题35 劳斯表中某行元素全为0 ^[12]

a （ s ）= s ³ +（14 -K ） s ² +（6 -K ） s +79-18 K

当 K 为何值时，可使 a （ s ）有j ω 轴上的根，并找到对应的根。

[1] 请注意 。

[2] 术语“相量”既可以指 A e ^{j ωt} ，也可以指 A 。

[3] 。 IsboTqGtf7vR+1GX2QTPpQk8xR6LGf66of+vtDKWT33TcoxApTWJ1UPhSWTyU8G6