下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
此处我们讨论在劳斯表的任一行中，出现第一个元素为0，但是其余元素不完全为0的情况，我们通过下文举例讨论此种情况。
例27 第一列中存在0元素
系统特征方程为
a （ s ）= s 4 + s 3 +5 s 2 +5 s +2
使用劳斯-赫尔维茨稳定性判据判断其是否稳定，若不稳定则求解其在右半平面上根的个数。其劳斯表如下
由于 s 2 行中的0元素，劳斯表无法列完。此种情况下代表系统并不稳定。计算右半平面的根的个数需用一个很小的正数 ϵ 代替 s 2 行中第一列的0元素，然后继续进行计算，完成劳斯表：
由于 ϵ 为极小正数，则5-2/ ϵ <0，劳斯表第一列元素符号改变两次，所以 a （ s ）在右半平面存在两个实根。
例28 第一列中存在0元素
系统特征方程为
a （ s ）= s 3 -3 s +2
因为 s 项的系数为负， s 2 项的系数为0，所以系统不稳定。使用劳斯-赫尔维茨稳定性判据求解右半平面上根的个数，排列劳斯表如下
由于 s 2 行中第一列元素为0，劳斯表无法列完。为了继续计算，则用一个很小的正数 ϵ 代替 s 2 行中第一列的0元素，然后继续进行计算，完成劳斯表：
由于 ϵ 为极小正数，则劳斯表第一列元素符号改变两次，所以 a （ s ）在右半平面存在两个实根。事实上， a （ s ）= s 3 -3 s +2=（ s +2）（ s -1） 2 ，与劳斯-赫尔维茨稳定性判据结果相同。
例29 劳斯-赫尔维茨稳定性判据
再次讨论系统特征方程为
a （ s ）= s 3 -3 s +2
因为 s 项的系数为负， s 2 项的系数为0，所以系统不稳定。然后定义新的多项式：
易知由于
s
2
项和
s
项的系数为负，系统不稳定。同样，
和
a
（
s
）在右半平面拥有相同的零点，排列劳斯表如下
劳斯表第一列元素符号改变两次，证明
和
a
（
s
）在右半平面存在两个根。