*3.5.2 特殊情况
劳斯表的一行元素为0

这里我们考虑一种特殊情况，劳斯表的一行元素全部为0。当然这也意味着它的第一列元素有0，多项式 a （ s ）是不稳定的。在这种情况下， a （ s ）在j ω 轴上有根。正如前面所提到的，我们通常只对系统是否稳定感兴趣，所以这个结果没有很大的价值。然而，在第12章中，它是描述闭环系统根轨迹的工具之一。

例23 某行元素全为0 ^[12]

回想一下我们在例18中考虑的问题

a （ s ）= s ³ + αs ² + s +1

它的劳斯表为

它对 α >1是稳定的。当0< α <1时，它在右半平面内有两个根。

那么当 α =1呢？当 α 略小于1时，它在右半平面内有两个根，当 α 略大于1时，所有根都在左半平面上。我们猜想当 α =1时，有两个根在j ω 轴上。这确实是真的，但没有给出证据。现在我们解释如何找到 α =1时j ω 轴上的两个根的位置。当 α =1时，劳斯表变为

注意，现在 s 行只有0，我们到它上面一行，即 s ² 行。回想一下劳斯表是如何形成的， s ² 行的第一个元素是1，对应于 s ² 行。而 s ² 行的第二个元素也是1，对应于 s ⁰ 行。我们用这两个系数形成辅助多项式，定义如下

1⋅ s ² +1⋅ s ⁰ = s ² +1

辅助多项式的根为

s =±j

它们也是 α =1时 a （ s ）在j ω 轴上的两个根的位置。具体来说，当 α =1时有

a （ s ）= s ³ + s ² + s +1=（ s +1）（ s ² +1）

明确地展示了辅助多项式的根也是 a （ s ）的根。

例24 某行元素全为 0 ^[12]

回想例19，我们考虑下式的稳定性

a （ s ）≜ s ³ +5 s ² +2 s + K -8

劳斯表为

这表明当8< K <18时， a （ s ）是稳定的。当 K >18时， a （ s ）有两个根在右半平面。

当 K =18呢？ K 略小于18时， a （ s ）的所有根都在左半平面内，当 K 的值略大于18时，它有两个根在右半平面内。所以对于 K =18，我们认为在j ω 轴上有两个根。为了找到这两个根的位置，我们在劳斯表中令 K =18，得到

注意 s 行中只有0，我们到它上面一行，也就是 s ² 行。 s ² 行的第一个元素是5，对应于 s ² 行。而 s ² 行的第二个元素是10，对应于 s ⁰ 行。我们用这两个系数形成辅助多项式，定义如下

5⋅ s ² +10⋅ s ⁰ =5（ s ² +2）

辅助多项式的根为

它们也是 a （ s ）两个根的位置，当 K =18时，它们在j ω 轴上。具体来说，当 K =18时有

a （ s ）= s ³ +5 s ² +2 s +10=（ s ² +2）（ s +5）

这表明辅助多项式的根也是 a （ s ）的根。

那么当 K =8呢？当 K =8时劳斯表为

当 K <8时有一个根在右半平面，当 K 略大于8时所有的根都在左半平面内。所以我们认为 K =8时有一个根在j ω 轴上。这很容易理解为

a （ s ）≜ s ³ +5 s ² +2 s + K -8 _{K =8|} = s ³ +5 s ² +2 s

这表明 a （ s ）有一个根在 s =0处。

例25 某行元素全为0

回想一下我们在例20中考虑的问题：

a （ s ）= s ³ +3 Ks ² +（ K +2） s +4

它的劳斯表为

使用这个表，它显示出当 K >0.528时 a （ s ）是稳定的。当0< K <0.528时，可以看出 a （ s ）在右半平面内有两个根。

那么当 K =0.528时呢？我们推断 a （ s ）在j ω 轴上有两个根。这是因为当 K 略小于0.528时，多项式 a （ s ）在右半平面内有两个根，当 K 略大于0.528时它的所有根都在左半平面内。我们认为当 K =0.528时， a （ s ）有两个根在j ω 轴上。为了找到这些根，我们将劳斯表中的 K 设置为0.528，得到

注意到 s 行只有0。我们到它上面一行，即 s ² 行并形成如下定义的辅助多项式

3（0.528） s ² +4=3（0.528）（ s ² +2.52）

辅助多项式的根为

s =±j1.6

这些也是当 K =0.528时 a （ s ）在j ω 轴上的两个根的位置。事实上当 K =0.528时我们可以得到

明确地展示了辅助多项式的根也是 a （ s ）的根。

例26 某行元素全为0

系统特征方程为

a （ s ）= s ³ +2 s ² + s +2

其劳斯表如下

s 行元素都为0。建立辅助方程

2 s ² +2=2（ s ² +1）

它存在根

s =±j

由于辅助方程的根也是 a （ s ）的根，因此±j是 a （ s ）在j ω 轴上的根。事实上，

a （ s ）= s ³ +2 s ² + s +2=（ s +2）（ s ² +1） SUfIbFCpZAYMyN4KX+zXkGb5GiLC0gNKnJ7+PPuyMhO2gt5HVKtmSjWeINK9F2Dg