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我们现在已经提出了稳定性的充要条件，即劳斯-赫尔维茨稳定性判据。我们从一个一般的四阶多项式开始：
a （ s ）= s 4 + a 3 s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a 0
接下来我们组成劳斯表，定义为
我们现在可以陈述（但不证明）劳斯-赫尔维茨稳定性判据。
定理3 劳斯-赫尔维茨稳定性判据
主要结果： 组成劳斯表。当且仅当劳斯表的第一列元素都是正的，那么 a （ s ）的所有根都在左半平面上（即 a （ s ）≠0对于Re{ s }≥0）。
次要结果： 如果劳斯表的第一列元素是非零的，则第一列符号的改变数等于右半平面 a （ s ）根的个数。
证明 证明省略。这个结果的解释在参考文献[11]中给出。
注意 在实践中，控制系统必须稳定工作。如果不是这种情况，我们一般不会对右半平面内的极点感兴趣。
例17 劳斯-赫尔维茨稳定性判据
考虑多项式
a （ s ）=4 s 5 +2 s 4 +9 s 3 +4 s 2 +5 s +1
为了判断它的根是否在左半平面内，我们首先组成劳斯表。
在 s 2 行，第一列有一个负的元素等于-2，因此 a （ s ）是不稳定的。
a （ s ）在右半平面内有两个根。这是因为在第一列有两个符号变化。第一个符号改变是从1到-2（从 s 3 行到 s 2 行），第二个符号的改变是从-2到3.5（从 s 2 行到 s 行）。
a （ s ）=4 s 5 +2 s 4 +9 s 3 +4 s 2 +5 s +1=0
上式的根为
0.072±j1.22，-0.212±j0.849，-0.22
例18 劳斯-赫尔维茨稳定性判据 [12]
设
a （ s ）= s 3 +α s 2 + s +1
我们使用劳斯-赫尔维茨稳定性判据来确定 α 的值，其中 a （ s ）的根在左半平面内。为此组成劳斯表
第一列是正的当且仅当
α >0
并且
其中
α >0
α -1>0
即
α >1
因此对于 α >1， a （ s ）是稳定的，即根均在左半平面内。
对于0< α <1，第一列有两个符号变化。也就是说从 s 2 行到 s 行符号从+变为-，从 s 行到 s 0 行符号从-变为+。因此对于0< α <1， a （ s ）右半平面内有两个根。
例19 劳斯-赫尔维茨稳定性判据 [12]
我们使用劳斯-赫尔维茨稳定性判据来确定 K 的值，下式的根
a （ s ）≜ s 3 +5 s 2 +2 s + K -8
均在左半平面内。首先组成劳斯表。
当且仅当下式成立时第一列元素是正的：
或者写为
18> K
K >8
即
8< K <18
对于 K >18，第一列有两个符号的变化，所以对于 K >18的 K 值， a （ s ）在右半平面内有两个根。
例20 劳斯-赫尔维茨稳定性判据
设
a （ s ）= s 3 +3 Ks 2 +（ K +2） s +4
我们使用劳斯-赫尔维茨稳定性判据来确定 K 取哪个值时 a （ s ）的根都在左半平面内。为此，我们首先组成劳斯表。
看 s 2 行，只有当 K >0时 a （ s ）才是稳定的。 s 行要求
或者，由于稳定时要求 K >0，这个条件可以简化为
3 K （ K +2）-4>0
我们用二次方程来解：
3 K （ K +2）-4=3 K 2 +6 K -4=0
得到
那么
3 K 2 +6 K -4=3（ K +2.528）（ K -0.528）
并且
3（ K +2.528）（ K -0.528）>0对于 K >0.528或 K <-2.528
所以 s 2 行需要 K >0， s 行需要 K >0.528或者 K <-2.528。因此，为了使两行的第一列元素都为正，必须有 K >0.528才能使 a （ s ）稳定。
当0< K <0.528时， s 2 行的第一列元素为正， s 行的第一列元素为负。因此有两个符号的改变，表明 a （ s ）在右半平面内有两个根。
K =0.528时发生了什么？我们推论 a （ s ）有两个根在j ω 轴上。当 K 略小于0.528时， a （ s ）在右半平面内有两个根，当 K 略大于0.528时， a （ s ）在右半平面内没有根。所以当 K =0.528时， a （ s ）有两个根在j ω 轴上。
例21 一般二阶多项式
设
a （ s ）= s 2 + a 1 s + a 0
我们使用劳斯-赫尔维茨稳定性判据来确定 a 1 、 a 0 取什么值时 a （ s ）是稳定的。劳斯表为
当且仅当满足
a 1 >0和 a 0 >0
时第一列是正的，即当且仅当系数均为正时二次多项式是稳定的。
例22 一般三阶多项式
设
a （ s ）= s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a 0
我们使用劳斯-赫尔维茨稳定性判据来确定使 a （ s ）稳定的 a 0 、 a 1 和 a 2 的值。劳斯表为
当且仅当
成立时第一列是正的。等价地，这可简化为
a 2 >0， a 0 >0， a 2 a 1 -a 0 >0