3.5.1 劳斯-赫尔维茨稳定性判据

我们现在已经提出了稳定性的充要条件，即劳斯-赫尔维茨稳定性判据。我们从一个一般的四阶多项式开始：

a （ s ）= s ⁴ + a ₃ s ³ + a ₂ s ² + a ₁ s + a ₀

接下来我们组成劳斯表，定义为

我们现在可以陈述（但不证明）劳斯-赫尔维茨稳定性判据。

定理3 劳斯-赫尔维茨稳定性判据

主要结果： 组成劳斯表。当且仅当劳斯表的第一列元素都是正的，那么 a （ s ）的所有根都在左半平面上（即 a （ s ）≠0对于Re{ s }≥0）。

次要结果： 如果劳斯表的第一列元素是非零的，则第一列符号的改变数等于右半平面 a （ s ）根的个数。

证明 证明省略。这个结果的解释在参考文献[11]中给出。

注意 在实践中，控制系统必须稳定工作。如果不是这种情况，我们一般不会对右半平面内的极点感兴趣。

例17 劳斯-赫尔维茨稳定性判据

考虑多项式

a （ s ）=4 s ⁵ +2 s ⁴ +9 s ³ +4 s ² +5 s +1

为了判断它的根是否在左半平面内，我们首先组成劳斯表。

在 s ² 行，第一列有一个负的元素等于-2，因此 a （ s ）是不稳定的。

a （ s ）在右半平面内有两个根。这是因为在第一列有两个符号变化。第一个符号改变是从1到-2（从 s ³ 行到 s ² 行），第二个符号的改变是从-2到3.5（从 s ² 行到 s 行）。

a （ s ）=4 s ⁵ +2 s ⁴ +9 s ³ +4 s ² +5 s +1=0

上式的根为

0.072±j1.22，-0.212±j0.849，-0.22

例18 劳斯-赫尔维茨稳定性判据 ^[12]

设

a （ s ）= s ³ +α s ² + s +1

我们使用劳斯-赫尔维茨稳定性判据来确定 α 的值，其中 a （ s ）的根在左半平面内。为此组成劳斯表

第一列是正的当且仅当

α >0

并且

其中

α >0

α -1>0

即

α >1

因此对于 α >1， a （ s ）是稳定的，即根均在左半平面内。

对于0< α <1，第一列有两个符号变化。也就是说从 s ² 行到 s 行符号从+变为-，从 s 行到 s ⁰ 行符号从-变为+。因此对于0< α <1， a （ s ）右半平面内有两个根。

例19 劳斯-赫尔维茨稳定性判据 ^[12]

我们使用劳斯-赫尔维茨稳定性判据来确定 K 的值，下式的根

a （ s ）≜ s ³ +5 s ² +2 s + K -8

均在左半平面内。首先组成劳斯表。

当且仅当下式成立时第一列元素是正的：

或者写为

18> K

K >8

即

8< K <18

对于 K >18，第一列有两个符号的变化，所以对于 K >18的 K 值， a （ s ）在右半平面内有两个根。

例20 劳斯-赫尔维茨稳定性判据

设

a （ s ）= s ³ +3 Ks ² +（ K +2） s +4

我们使用劳斯-赫尔维茨稳定性判据来确定 K 取哪个值时 a （ s ）的根都在左半平面内。为此，我们首先组成劳斯表。

看 s ² 行，只有当 K >0时 a （ s ）才是稳定的。 s 行要求

或者，由于稳定时要求 K >0，这个条件可以简化为

3 K （ K +2）-4>0

我们用二次方程来解：

3 K （ K +2）-4=3 K ² +6 K -4=0

得到

那么

3 K ² +6 K -4=3（ K +2.528）（ K -0.528）

并且

3（ K +2.528）（ K -0.528）>0对于 K >0.528或 K <-2.528

所以 s ² 行需要 K >0， s 行需要 K >0.528或者 K <-2.528。因此，为了使两行的第一列元素都为正，必须有 K >0.528才能使 a （ s ）稳定。

当0< K <0.528时， s ² 行的第一列元素为正， s 行的第一列元素为负。因此有两个符号的改变，表明 a （ s ）在右半平面内有两个根。

K =0.528时发生了什么？我们推论 a （ s ）有两个根在j ω 轴上。当 K 略小于0.528时， a （ s ）在右半平面内有两个根，当 K 略大于0.528时， a （ s ）在右半平面内没有根。所以当 K =0.528时， a （ s ）有两个根在j ω 轴上。

例21 一般二阶多项式

设

a （ s ）= s ² + a ₁ s + a ₀

我们使用劳斯-赫尔维茨稳定性判据来确定 a ₁ 、 a ₀ 取什么值时 a （ s ）是稳定的。劳斯表为

当且仅当满足

a ₁ >0和 a ₀ >0

时第一列是正的，即当且仅当系数均为正时二次多项式是稳定的。

例22 一般三阶多项式

设

a （ s ）= s ³ + a ₂ s ² + a ₁ s + a ₀

我们使用劳斯-赫尔维茨稳定性判据来确定使 a （ s ）稳定的 a ₀ 、 a ₁ 和 a ₂ 的值。劳斯表为

当且仅当

成立时第一列是正的。等价地，这可简化为

a ₂ >0， a ₀ >0， a ₂ a ₁ -a ₀ >0 T3/Eh0aetQCGauLCKswY2hFlfjXoVYHTAlvFPV31TxmqhsCpUj2dWY61SPlvnbUm