下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
我们现在讲述的是劳斯-赫尔维茨稳定性检验。对于任意一个多项式，这个检验可以直接判断它的根是否在左半平面内。
回想一下一个严格正则的传递函数：
是稳定的，当且仅当下式的根
在左半平面内。参照图3-1，这就相当于说 G （ s ）是稳定的，当且仅当
对于任意形式的多项式
a （ s ）= s n + a n -1 s n -1 +…+ a 1 s + a 0
我们较难知道它的根在哪里。
先考虑二阶多项式
a （ s ）= s 2 + a 1 s + a 0
图3-1 当且仅当 a （ s ）的所有根都在Re（ s ）<0时， a （ s ）稳定，也就是说根在左半平面内
假设 a （ s ）是稳定的，它的根为
p i =-1±j2
那么
a （ s ）=（ s -（-1+j2））（ s -（-1-j2））= s 2 +2 s +5
注意 a （ s ）的两个系数都是正的。
另一方面，假设 a （ s ）是不稳定的，它的根为
p i =1±j2
那么
a （ s ）=（ s -（1+j2））（ s -（1-j2））= s 2 -2 s +5
注意系数 a 1 是负的。
另外，设 a （ s ）具有共轭复根，即
p i = σ ±j ω
那么
a （ s ）≜（ s -（ σ +j ω ））（ s -（ σ -j ω ））= s 2 -2 σs + σ 2 + ω 2
当且仅当 σ <0时 a （ s ）是稳定的，这意味着系数 a 1 =-2 σ ， a 2 = σ 2 + ω 2 都是正的。
任何多项式都可以分解为它的实根和共轭复根。例如，假设 a （ s ）的阶次为3，有一个实根 p 1 ，一对共轭复根 σ 1 ±j ω 1 ，然后我们可以将 a （ s ）写为
如果 a （ s ）是稳定的，那么 p 1 <0， σ 1 <0。显然 -p 1 >0， -σ 1 >0使得式（3.30）每个因子的系数都为正。因此，把这个乘出来以后，我们有
系数 a i 必须是正的，我们刚刚证明了以下定理。
定理2 稳定性的必要条件
设
a （ s ）= s n + a n -1 s n -1 +…+ a 1 s + a 0
是 n 次多项式。 a （ s ）≠0对于Re{ s }≥0（所有根位于左半平面内）的一个必要条件为它的所有系数都是正的，即对于 i =0，…， n -1， a i >0。
注1 a i >0不是稳定性的充分条件
考虑
a （ s ）= s 3 + s 2 + s +1
它的系数都是正的。然而它的因式分解
a （ s ）= s 3 + s 2 + s +1=（ s +1）（ s 2 +1）
表明它有两个根在±j处，因此它是不稳定的。
多项式
a （ s ）= s 3 + s 2 + s +2=0
的根为0.177±j1.203和-1.353，表示它是不稳定的。