下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
我们现在提出终值定理（FVT），因为它将成为贯穿全书的一个重要工具。我们将使用一系列的例子进行说明。
例4
对于
，我们想看一下当
t
→∞时
f
（
t
）的特性。对
F
（
s
）进行部分分式展开：
我们可以立刻得到
f （ t ）= Au s （ t ）+ B e -t u s （ t ）
因此
通过部分分式法，我们可以计算 A ：
因此
例5
对于
，我们想看一下当
t
→∞时
f
（
t
）的特性。对
F
（
s
）进行部分分式展开：
我们可以立刻得到
f （ t ）= Au s （ t ）+ B e t u s （ t ）
这说明lim t →∞ f （ t ）不存在。同样，通过部分分式法，我们可以计算 A ：
在本例中，lim s →0 sF （ s ）= A 是单位阶跃函数在拉普拉斯逆变换计算中的系数。然而，当 t →∞时 f （ t ）的时间特性是由增长的指数项e t 决定的。
例6
我们想看看当 t →∞时 f （ t ）的特性。对 F （ s ）进行部分分式展开：
我们可以立刻得到
f （ t ）= Au s （ t ）+ B e -2 t u s （ t ）+ C e -3 t u s （ t ）
因此
同样，通过部分分式的方法，计算 A 为
因此
这里的要点是，lim s →0 sF （ s ）只是 F （ s ）部分分式展开中1/ s 项的系数。本例中，它也是终值，即lim t →∞ f （ t ）在-2和-3处由极点引起的部分响应消失了。
例7
我们想看看当 t →∞时 f （ t ）的特性。对 F （ s ）进行部分分式展开：
我们可以立刻得到
f （ t ）= Au s （ t ）+ B e -2 t + C e 3 t
这表明极限lim t →∞ f （ t ）不存在。同样，通过部分分式法，可以计算 A ：
这里的要点是，lim s →0 sF （ s ）只是 F （ s ）部分分式展开中1/ s 项的系数（也就是单位阶跃函数在时间响应中的系数）。然而，当 t →∞时 f （ t ）的时间特性是由增长的指数项e 3 t 决定的，所以 f （ t ）无终值。
例8
我们想看看当 t →∞时 f （ t ）的特性。通过部分分式展开法，我们得到
我们可以立即得到
f （ t ）= Au s （ t ）+ β e t e 2j t + β * e t e -2j t = Au s （ t ）+2| β |e t cos（2 t +∠ β ）
表明极限lim t →∞ f （ t ）不存在，然而，我们仍然可以得到
同样地，这里的要点是lim s →0 sF （ s ）只是 F （ s ）部分分式展开中1/ s 项的系数。然而，当 t →∞时 f （ t ）的时间特性由e t cos（2 t +∠ β ）这一项决定，它不会消失。
例9
在本例中， F （ s ）在 s =0处没有极点，部分分式展开可以得到如下形式
我们可以立即得到
f （ t ）= A e -2 t u s （ t ）+ B e -3 t u s （ t ）
因此，lim t →∞ f （ t ）=0。此外，lim s →0 sF （ s ）=0，因为在部分分式展开中，在 s =0处没有极点。
下面我们将介绍在本书其余部分中使用的终值定理。
定理1 终值定理
令
是有理函数
并且严格正则，即
deg{ b （ s ）}<deg{ a （ s ）}
设 f （ t ）表示的是 F （ s ）的拉普拉斯逆变换。
则极限lim t →∞ f （ t ）存在，并由下述极限给出：
当且仅当 sF （ s ）的所有极点都在左半平面内。
证明 （概述）令
那么
sF
（
s
）的极点为
p
1
和
p
2
，并且
A
=lim
s
→0
sF
（
s
）。所以当且仅当
p
1
和
p
2
的实部是负的时候，
，
，或者说当且仅当
p
1
、
p
2
在左半平面上。
另外考虑：
那么
sF
（
s
）的极点为
p
1
和
p
2
，并且lim
s
→0
sF
（
s
）=0。当且仅当
与
时，lim
t
→∞
f
（
t
）=0=lim
s
→0
sF
（
s
），当且仅当
p
1
和
p
2
在左半平面时也成立。
注意 另一种描述终值定理的方法是，当且仅当 F （ s ）在 s =0最多有一个极点且其余极点都在左半平面内时极限lim t →∞ f （ t ）存在。
例10
在本例中
并且 sF （ s ）的极点在左半平面内。因此lim t →∞ f （ t ）=lim s →0 sF （ s ）。这可以直接看出 F （ s ）的部分分式展开式有以下形式
相应的时域函数为
f （ t ）= Au s （ t ）+ B e -t u s （ t ）
则lim s →0 sF （ s ）= A 是单位阶跃的系数，也是终值，因为第二项消失了（它的极点在左半平面的-1处）。
例11
在本例中
并且 sF （ s ）的极点不在左半平面内。因此lim t →∞ f （ t ）不存在。通过 F （ s ）的部分分式展开可以直接得到这一点：
相应的时域函数为
f （ t ）= Au s （ t ）+ B e t u s （ t ）
这里lim s →0 sF （ s ）= A 是单位阶跃的系数。不是终值，因为第二项并没有消失（它的极点在右半平面的1处）。
例12
在本例中
表明 sF （ s ）的极点在左半平面内。通过终值定理极限lim t →∞ f （ t ）=lim s →0 sF （ s ）=0。我们可以直接证明 F （ s ）具有部分分式展开：
相应的时域函数为
f （ t ）=（ β e -t e 2j t + β * e -t e -2j t ） u s （ t ）=2| β |e -t cos（2 t +∠ β ） u s （ t ）
由复共轭极点引起的两项由于这些极点位于左半平面内而消失。极限lim s →0 sF （ s ）=0
在部分分式展开中没有1/ s 项。
例13
在本例中
并且 sF （ s ）的极点不在左半平面内。因此极限lim t →∞ f （ t ）不存在。这是由 F （ s ）的部分分式展开的形式直接证明的：
相应的时域函数为
f （ t ）=（ β e t e 2j t + β * e t e -2j t ） u s （ t ）=2| β |e t cos（2 t +∠ β ） u s （ t ）
极限lim s →0 sF （ s ）=0在部分分式展开中没有1/ s 项。然而，由复共轭极点引起的两项由于这些极点位于右半平面内而不会消失。
例14
在本例中
并且 sF （ s ）在 s =0处有一个极点，极点不在左半平面内。我们可以直接从 F （ s ）的部分分式展开中得到，其有如下形式
相应的时域函数为
f （ t ）= Au s （ t ）+ Btu s （ t ）
极限lim t →∞ tu s （ t ）=∞表明 f （ t ）没有终值。在本例中，lim s →0 sF （ s ）=∞甚至不是部分分式展开中1/ s 项的系数。