3.2.1 小结

考虑一个一般的微分方程：

与传递函数

当 u （ t ）= U ₀ cos（ ωt ）时，相量解 x _ph （ t ）为

x _ph （ t ）≜| G （j ω ）| U ₀ cos（ ωt +∠ G （j ω ））对于-∞< t <∞

然而，从 t =0时刻开始，输入为 u （ t ）= U ₀ cos（ ωt ） u _s （ t ）的解为

x （ t ）=| G （j ω ）| U ₀ cos（ ωt +∠ G （j ω ）） u _s （ t ）

这是上述微分方程在特殊初始条件下的解：

此外，如果 G （ s ）的极点在左半平面上，那么这也是正弦稳态解，意味着对于任意的初始条件的解 x （ t ）都有

x （ t ）→ x _ss （ t ）=| G （j ω ）| U ₀ cos（ ωt +∠ G （j ω ）） u _s （ t ）

注意 如果， u （ t ）= U ₀ cos（ ωt + θ ₀ ），并且 ，可以令

与上文类似（见例10），然后得到

和

定义1 频率响应

若微分方程的传递函数为 G （ s ），则

是频率响应函数。

对任意的正弦输入 u （ t ）= U ₀ cos（ ωt + θ ₀ ），可以使用频率响应函数 G （j ω ）得到对应微分方程的解 x （ t ）=| G （j ω ）| U ₀ cos（ ωt + θ ₀ +∠ G （j ω ））。如第11章所述，频率响应在控制系统的分析中起着很大的作用。 67bvYeZTPhFdYLWEUubUnYE0higaH3tuwIlHq/9bVKFxX9t8hWfIFsYuouptvlfr