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之前我们将输入 u （ t ）= U 0 cos（ ωt ） u s （ t ）应用到几个微分方程中，并证明了
U 0 | G （j ω ）|cos（ ωt +∠ G （j ω ）） u s （ t ）
是解的一部分。将 G （j ω ）作为微分方程的传递函数，现在证明这个表达式始终是具有特殊初始条件的微分方程的解。这是使用相量完成的。
例2 相量法求解
再次考虑微分方程（3.4）和（3.5）给出的例子，但这次用复相量法求解。接下来考虑微分方程
其输入为
u （ t ）= U 0 cos（ ωt ）对于-∞< t <∞
首先求解这个微分方程，令输入为给出的复相量函数：
加粗的 u 表示它是复数。原始输入 u （ t ）为
u （ t ）=Re{ u （ t ）}=Re{ U 0 e j ωt }
我们现在求这种形式的复相量解：
其中， A =| A |e j∠ A ∈ℂ是复常数 [2] 。也就是说，我们想找到 A ∈ℂ使 x （ t ）= A e j ωt 是微分方程的一个解：
将式（3.17）与式（3.18）代入得到
当 A e j ωt 的导数是j ω A e j ωt 时，上式变为
（j ω ） 2 A e j ωt +j ω A e j ωt + A e j ωt = U 0 e j ωt
计算的简单性是使用相量法求解的原因，我们有组合项：
（（j ω ） 2 +j ω +1） A e j ωt = U 0 e j ωt
所以
即复变函数输入 u （ t ）= U 0 e j ωt 的微分方程（3.19）的解是简单的：
x （ t ）= G （j ω ） U 0 e j ωt
因此，输入为 u （ t ）= U 0 cos（ ωt ）的式（3.16）的解为
更详细地写为
刚刚证明了 x （ t ）和 u （ t ）满足
令等式两边的实部和虚部相等，则有
当 u R （ t ）= U 0 cos（ ωt ）时，得到式（3.16）的解为 x R （ t ）=Re{ x （ t ）}=Re{ G （j ω ） U 0 e j ωt }。
现在我们来看式（3.16）的解，从 t =0开始。对于 t >0，输入 u （ t ）= U 0 cos（ ωt ） u s （ t ），得到
满足微分方程（3.16），初始条件为
也就是说，由式（3.21）给出的
x
（
t
）是微分方程（3.16）在初始条件
t
=0，输入为
U
0
cos（
ωt
）
u
s
（
t
）时的唯一解。另一方面，由式（3.9）给出的
x
（
t
）是在零初始条件下的唯一解
。
例3 相量法求解
让我们用复相量法重新考虑输入为式（3.12）的微分方程（3.11）。也就是说，考虑
其输入为
u （ t ）= U 0 cos（ ωt ） u s （ t ）
为了求解这个方程，我们首先取输入为给定的复相量函数：
u （ t ）= U 0 e j ωt = U 0 cos（ ωt ）+j U 0 sin（ ωt ）对于-∞< t <∞
令 u （ t ）= U 0 e j ωt ，我们求微分方程的解 x （ t ）：
相量形式为
将式（3.24）代入式（3.23）得到
计算导数项得到
（j ω ） 2 A e j ωt -j ω A e j ωt + A e j ωt = U 0 e j ωt
或
（（j ω ） 2 -j ω +1） A e j ωt = U 0 e j ωt
复相量 A 为
那么解就可以简单表示为
x （ t ）= G （j ω ） U 0 e j ωt
输入为 u （ t ）= U 0 cos（ ωt ）的式（3.22）的解为
x （ t ）=Re{ G （j ω ） U 0 e j ωt }=Re{| G （j ω ）|e j∠ G (j ω ) U 0 e j ωt }=| G （j ω ）| U 0 cos（ ωt +∠ G （j ω ））
最后，从 t =0开始，输入为 u （ t ）= U 0 cos（ ωt ） u s （ t ）的微分方程
的解为
x （ t ）=| G （j ω ）| U 0 cos（ ωt +∠ G （j ω ）） u s （ t ）
初始条件为
相反，式（3.15）是同一个微分方程的解，但初始条件为0。式（3.15）中由于
G
（
s
）的极点（例如
）引起的响应不会消失，所以相量法得到的解并不是一个正弦稳态解。