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现在考虑一个正弦输入的例子，也就是说，考虑微分方程
其输入为
和初始条件
我们有
所以
通过假设初始条件为0变为
或
为了对 X （ s ）进行部分分式展开，我们对其分母进行因式分解，得到
部分分式展开的结果是
接下来我们显式地计算 k 和 k * ，而我们对 β 和 β * 的显式值不感兴趣，可以得到
那么
其中
可以得到
因此
当e -1/2 t →0， t →∞时，可以得到
如果传递函数 G （ s ）的极点具有负实部，并且对系统施加正弦输入 u （ t ）= U 0 cos（ ωt ），则正弦稳态输出 x ss （ t ）仅仅是输入的幅值乘以| G （j ω ）|，相位偏移量为∠ G （j ω ）。第4章介绍了Simulink仿真工具，该章的例10要求仿真这个例子。
例1 不稳定系统
假设系统为
其中
与
则
X （ s ）的部分分式展开得到 [1]
注意 G （ s ）的极点在右半平面，时域响应相应为
在这个例子中，
x
（
t
）没有正弦的稳态响应，因为e
1/2
t
不会消失，结果是
最终在±∞之间振荡。第4章的例11要求对这个例子进行仿真。