附录 指数函数

定义指数函数e ^s 的一种方法是采用幂级数，定义方法如下

这个无穷级数对 s = σ +j ω ∈ℂ的所有值都是收敛的（证明略），对任意 s ∈ℂ都有效。当 s =0时，可以从这个定义得到e ⁰ =1。

接下来

回顾一下初级代数，例如

2 ³ 2 ⁷ =2 ¹⁰

这是具有相同底数的指数的一个性质（在本例中底数为2）。我们现在证明这个性质对e ^s 也成立。首先我们计算：

接着我们计算

通过观察我们可以看出

这个性质就是我们把 叫作指数函数的原因。特别地，我们有

e ^s e ^-s =e ^s-s =e ⁰ =1

或是

欧拉公式

设 s =j ω 是一个纯虚数，那么

cos（ ω ）和sin（ ω ）的幂级数展开为

表达式

e ^{j ω} =cos（ ω ）+jsin（ ω ）

称为欧拉公式。

注意 m 为非负整数，即 m ∈{0，1，2，…}，用欧拉公式可以写为

t ^m e ^{( σ +j ω ) t} = t ^m e ^σt cos（ ωt ）+j t ^m e ^σt sin（ ωt ）

结果证明线性定常微分方程的解仅由 At ^m e ^σt cos（ ωt ）和 Bt ^m e ^σt sin（ ωt ）组成，这就是指数函数在线性系统理论中频繁出现的原因。

指数函数

当e ^s 中的 s = σ ，即 s 为一个实数时，

如上所示，当 σ =0时可以得到e ⁰ =1。同样可以得到

e ^σ >0对于 σ >0

很明显这是因为 σ >0时幂级数展开中的每一项都是正数。同样， σ >0时我们还有（如前所示）

因此

e ^σ >0对于-∞< σ <+∞

图2-7是指数函数的图像，其中 σ 被 x 取代。从图中木棍人的角度来看，这个图像是 y =e ^x 的倒数图像。

自然对数函数

正如前文所示，从 x ∈ℝ到 y =e ^x 的指数函数总是正的。对于任意 y >0，可定义自然对数函数ln（ y ）作为 y =e ^x 的反函数。 x =ln（ y ）的图像如图2-8所示。根据1=e ⁰ ，我们可以得到ln（1）=0。

现在我们知道：

这里要解释一下，指数函数将 x 映射到 y =e ^x ，所以它的反函数肯定是从 y =e ^x 到 x ，也就是说，

ln（e ^x ）= x

也就是说，自然对数是 y =e ^x ， x ∈ℝ的反函数。然后将 x =ln（e ^x ）的两边同时对 x 求导可以得到

或者 dJ60Ez6kHRtTgLKNk9YBohiK7LWel3k1J+LtGIGSuFet5LhQ2Vck0+1siCo+2W07