2.4 极点和部分分式

考虑以下类型的 F （ s ）：

其中， p ₁ ， p ₂ ， p ₃ 各不相同， F （ s ）的部分分式展开为

并且

这里的关键是我们只需要知道 F （ s ）的极点就可以确定时域响应的形式。时域响应的形式是指函数 。零点对 A ₁ ， A ₂ ， A ₃ 的值有影响，但不会影响到时域响应的形式。

类似地，如果

那么

不用计算 A ₁ ， A ₂ ， A ₃ ，我们便可以知道

再次强调，重点是我们只需要知道 F （ s ）的极点便可确定时域响应的形式。

例20

通过部分分式展开，我们可以得到

也就是说，这是在 F （ s ）的极点处展开的。即使不用计算 A ， B ，我们也可以知道

f （ t ）= A e ^{-2 t} + B e ^{-6 t}

当 t →∞时， f （ t ）会趋于零。

例21

通过部分分式展开法，我们可以得到

也就是说，这是关于 F （ s ）的极点展开的。即使不用计算 A ， B ，我们也可以知道

f （ t ）= A e ^{-2 t} + B e ^{6 t}

并且当 t →∞时， f （ t ）不会趋于零。

例22

图2-4是 F （ s ）的零极点图，即用×标记位于-1±2j处的两个极点，用〇标记位于-6处的零点。通过部分分式展开法，我们可以得到

甚至不需要计算 β ₁ ， ，我们便可以知道

当 t →∞时， f （ t ）会趋于零。

F （ s ）的极点是-1±2j，其中极点的实部决定了衰减速率为e ^-t ，极点的虚部决定了振荡速率为cos（2 t +∠ β ₁ ）。

例23

函数 F （ s ）的零极点图如图2-5所示。

通过部分分式展开法，我们可以得到

甚至不需要计算 β ₁ ， ，我们便可以知道

并且当 t →∞时， f （ t ）不会趋于零。 F （ s ）极点的实部都是1，导致 f （ t ）具有因子e ^t ，它将发散。

定义4 左半开平面

令 s = σ +j ω ，那么Re{ s }= σ 且Im{ s }= ω 。如图2-6所示，左半开平面有：

σ =Re{ s }<0

定理1 f （ t ）的渐近响应 已知 F （ s ）= L { f （ t ）}是严格正则有理函数，那么

当且仅当 F （ s ）的所有极点都在左半开平面上。

证明 通过上面的例子，我们可以用部分分式展开的方法来计算拉普拉斯逆变换。 O5nGX3II46AFuG9ZQK/sGZqyTp05UnP7fbfir4NaZP6g7dSSdpbbHiTRzbNqHuyt