2.2 部分分式展开

在用拉普拉斯变换解微分方程时，最后一步通常是求有理函数 s 的拉普拉斯逆变换 ，在之前的例子中，我们用了这样一个公式：

即有理函数 被分解为两个已知逆变换的更简单的函数。这个分解过程被称为部分分式展开。我们将通过一系列例子说明如何做到这一点。

例10

将其改写为

于是

因此

这样

A =1

类似地，

于是

或者说

B =-1

于是我们有

通过拉普拉斯变换可得

因此

例11

我们要求它的拉普拉斯逆变换

首先，公式

s ² +2 s +5=0

的根为

我们称 F （ s ）的分母的根为 F （ s ）的极点，可以把它写作

从拉普拉斯变换表可知

确定 σ =-1， ω =2，那么 F （ s ）可以重新写为

用已有的拉普拉斯变换表可得

f （ t ）=2e ^-t cos（2 t ） u _s （ t ）+5e ^-t sin（2 t ） u _s （ t ）

我们可以用MATLAB来验证这个结果：

MATLAB的返回值应为

exp（ -t ）（2cos（2 t ）+5sin（2 t ））

我们需要处理复数，所以现在简单回顾一下复数运算。

题外话 复数回顾

令

c = a +j b

表示一个复数，其中 a 和 b 是实数， 。 c 的共轭复数用 c ^* 表示，定义为

c ^* ≜ a -j b

注意

（ c ^* ） ^* =（ a -j b ） ^* = a +j b = c

c 的大小定义为

它也等于 c ^* 的大小，即

我们也可以用极坐标的形式表示复数。定义

∠ c ≜tan ^-1 （ b ， a ）

如图2-1所示，tan ^-1 （ b ， a ）在大多数计算机语言中表示为atan2（b，a），这样便于使 c = a + b j的角度在正确的象限内。例如，令 c ₁ =-1+j，那么

∠ c ₁ =tan ^-1 （1，-1）=atan 2（1，-1）=3π/4=2.3562

相反，如果我们考虑 c ₂ =1-j，那么

∠ c ₂ =tan ^-1 （-1，1）=atan2（-1，1）=-π/4=-0.7854

我们可以把 c 写成极坐标形式，即

于是我们得到

也就是

| c ^* |=| c |

∠ c ^* =-∠ c

下面我们证明 ：

类似地，

例12 （续）

我们用 F （ s ）的复共轭极点对部分分式展开重做之前的例子。

那么

并且

因此

同样，

因此 β ₁ =1-2.5 j。类似地，

这里需要注意的一点是

永远都是这样。回到部分分式展开，我们已经证明了

结果可以用MATLAB进行检验：

MATLAB的返回值应为

现在我们将 β ₁ =1-2.5 j转换为极坐标形式（见图2-2）。

我们有

再次用MATLAB检验我们的答案：

MATLAB的返回值应为

把 β ₁ ， 写成极坐标形式：

在例11中我们得到

f （ t ）=2e ^-t cos（2 t ） u _s （ t ）+5e ^-t sin（2 t ） u _s （ t ）

所以结果应该为

2=2| β ₁ |cos（∠ β ₁ ）=2×2.6932cos（-1.19）

5=-2| β ₁ |sin（∠ β ₁ ）=-2×2.6932sin（-1.19）

此式成立（用MATLAB来检查）。

例13 多根问题

令

F （ s ）的部分分式展开为

首先乘 s （ s +2） ² 得到

1= A ₀ （ s +2） ² + A ₁ s （ s +2）+ A ₂ s

或

1=（ A ₀ + A ₁ ） s ² +（4 A ₀ +2 A ₁ + A ₂ ） s +4 A ₀

s 的系数相等，我们可以得到

A ₀ =1/4， A ₁ =-1/4， A ₂ =-1/2

因此

最终可得到 ^[2]

例14

对于例13的部分分式展开，更简单的方法如下：

通过乘（ s +2） ² 得到

然后设 s =-2，可以得到 A ₂ =-1/2。于是可以得到

上式可变形为

或者

就像例13的结果一样： A ₀ =1/4， A ₁ =-1/4。

例15

我们可以用二次方程来解，即

s ² + s +1=0

解得

于是 F （ s ）可以写成

然后我们可以用式（2.16）对复共轭极点进行展开。然而，还存在另外一种使用式（2.17）的方法。可以写成 ^[3] ：

通过乘以 s （ s ² + s +1）来消除分式，得到

或写成

解得

于是

例16 （再次）

让我们用“硬核”的方式重做前面式（2.16）的例子。有

于是

并且

同时

为了给出和例15中相同形式的答案，我们必须将 β ₁ 转换为极坐标形式（见图2-3）。且

此外

回顾之前我们的定义tan ^-1 （ b ， a ）与计算机语言命令atan2（b，a）相同。最终可得到

结果和式（2.18）中的一样。 u92wbiCp8swhv3BldqkLsS3afHbKtb1m1Un8ZHVw4ybMz9VeXgYgQiYj5cJhSPPj