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接下来，我们回顾拉普拉斯变换的一些可以简化计算的性质。第一个性质是对拉普拉斯变量 s 的微分。
性质1
设
L { f （ t ）}= F （ s ）对于Re{ s }> σ
那么
证明
所以
作为这个性质的一个例子，我们展示如何获得任意 n 的 t n / n ！的拉普拉斯变换。
例5
在前面的例子中已有
因此
我们对
两边的 s 进行微分，有
或者
类似地，对于任意的 n =0，1，2，…，都有
例6
我们在之前的例子中可知
根据式（2.8）我们可以得到
性质2 L {e αt f （ t ）}= F （ s-α ）
令
L { f （ t ）}= F （ s ）对于Re{ s }> σ
则
证明
例7 f （ t ）=cos（ ωt ）
已知
可得
性质3
令
L { f （ t ）}= F （ s ）对于Re{ s }> σ
则
证明 根据拉普拉斯变换的定义可得
接下来用分部积分法，令
u =e -st ，d v = f ′（ t ）d t
并且
d u = -s e -st d t ， v = f （ t ）
于是
对于Re{
s
}>
σ
，存在
f
（
t
）的拉普拉斯变换，使
对于Re{
s
}>
σ
成立
[1]
。因此最后一个方程变为
例8 f （ t ）=cos（ ωt ）
f （ t ）=cos（ ωt ）和它的导数分别为
f （ t ）=cos（ ωt ）
f ′（ t ）= -ω sin（ ωt ）
对于Re{ s }>0， f （ t ）和 f ′（ t ）的拉普拉斯变换都存在。于是利用
L { f ′（ t ）}= sL { f （ t ）} - f （0）
我们可以得到
或者，经过整理可以得到
例9 解微分方程 考虑一阶微分方程
其中，输入 u s 是阶跃输入，并且
X （ s ）≜ L { x （ t ）}
我们有
并且
对微分方程两边同时做拉普拉斯变换，可得到
继而
将 X （ s ）提到公式左侧，可以得到
化简得
为了解出 x （ t ），我们需要计算
第二个方程后面是部分分式展开，这涉及下一节的内容。