2.1 拉普拉斯变换的性质

接下来，我们回顾拉普拉斯变换的一些可以简化计算的性质。第一个性质是对拉普拉斯变量 s 的微分。

性质1

设

L { f （ t ）}= F （ s ）对于Re{ s }> σ

那么

证明

所以

作为这个性质的一个例子，我们展示如何获得任意 n 的 t ⁿ / n ！的拉普拉斯变换。

例5

在前面的例子中已有

因此

我们对

两边的 s 进行微分，有

或者

类似地，对于任意的 n =0，1，2，…，都有

例6

我们在之前的例子中可知

根据式（2.8）我们可以得到

性质2 L {e ^αt f （ t ）}= F （ s-α ）

令

L { f （ t ）}= F （ s ）对于Re{ s }> σ

则

证明

例7 f （ t ）=cos（ ωt ）

已知

可得

性质3

令

L { f （ t ）}= F （ s ）对于Re{ s }> σ

则

证明 根据拉普拉斯变换的定义可得

接下来用分部积分法，令

u =e ^-st ，d v = f ′（ t ）d t

并且

d u = -s e ^-st d t ， v = f （ t ）

于是

对于Re{ s }> σ ，存在 f （ t ）的拉普拉斯变换，使 对于Re{ s }> σ 成立 ^[1] 。因此最后一个方程变为

例8 f （ t ）=cos（ ωt ）

f （ t ）=cos（ ωt ）和它的导数分别为

f （ t ）=cos（ ωt ）

f ′（ t ）= -ω sin（ ωt ）

对于Re{ s }>0， f （ t ）和 f ′（ t ）的拉普拉斯变换都存在。于是利用

L { f ′（ t ）}= sL { f （ t ）} - f （0）

我们可以得到

或者，经过整理可以得到

例9 解微分方程 考虑一阶微分方程

其中，输入 u _s 是阶跃输入，并且

X （ s ）≜ L { x （ t ）}

我们有

并且

对微分方程两边同时做拉普拉斯变换，可得到

继而

将 X （ s ）提到公式左侧，可以得到

化简得

为了解出 x （ t ），我们需要计算

第二个方程后面是部分分式展开，这涉及下一节的内容。 EbuckBw74DyRqEEYrSO2pAiGzTVCnoB7lRmGlPLSUwpKRT4s2gJiAsY9QEfusxTI