第2章
拉普拉斯变换

在第1章中，我们给出了用微分方程对物理系统进行建模的例子。对每个物理系统，我们使用微分方程模型来设计算法以控制系统。此外，这些算法也可以用微分方程来描述。为了降低用微分方程处理的困难，经典控制使用拉普拉斯变换。这种变换将微分方程转化为代数方程，大大简化了数学计算。在第9章和第10章中，我们将介绍基于物理系统的拉普拉斯变换模型设计反馈控制器的具体方法。所有这些都需要本章中涉及的拉普拉斯变换的背景知识。

定义1 拉普拉斯变换

在区间 t ≥0的函数 f （ t ）是时间函数，将 f 的拉普拉斯变换 L { f }定义为

其中 s = σ +j ω 是复数。

注释 符号≜表示“根据定义”。所以 L { f （ t ）}是根据定义度量 。

我们还使用 F （ s ）来定义 L { f （ t ）}，即 。

注意 收敛区域 式（2.1）中的积分不是对所有 s = σ +j ω ∈ℂ都存在。收敛区域是存在积分的 s 值的集合。下面的示例中说明了这点。

例1 单位阶跃函数 u _s （ t ）

单位阶跃函数 u _s （ t ）定义为

我们根据定义计算它的拉普拉斯变换

现在

根据欧拉公式

e ^{j ωt} =cos（ ωt ）+jsin（ ωt ）

上式变为

因此

例2 f （ t ）=e ^{2 t}

考虑函数 f （ t ）=e ^{2 t} 。利用拉普拉斯变换的定义，我们得到

因为

可得到

例3 在这个例子中，我们考虑复变函数 的拉普拉斯变换。计算

因为

满足 σ =Re{ s }> σ ₀ =Re{ σ ₀ +j ω ₀ }，所以

例4 （续）

对于Re{ s }> σ ₀ ，我们刚推导过：

这意味着

特殊情况下，对于 σ ₀ =0，我们有 2/oA/2A1oTUioVmRuaHX5zRzOYOKDOWd3jGE18GDGpJK0tm3aDIOWuTVng6AEMNG