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学术界的一个经典的控制问题是小车上的倒立摆。如图1-19所示，它由一个可以围绕支点自由旋转的长度为ℓ的摆杆组成。对小车施加适当的力 u 以保持摆杆垂直。具体来说，可以得到 θ 和 x （比如每毫秒）的测量值，想要确定 u （也是每毫秒）的值，使摆杆在 x 方向上维持固定位置，同时保持 θ =0。在第13章中，将推导这个摆杆的非线性运动微分方程。现在仅说明如下
这里的重点是，对于任何输入 u （ t ），微分方程的解都要给出小车的位置 x （ t ）和摆杆的角度 θ （ t ）。
这些方程可能看起来很复杂，但只是因为它们本来就复杂。为了简化它们，考虑||
θ
|和
很小这种情况，那么sin（
θ
）≈
θ
，
cos（
θ
）≈1，
。所以式（1.7）和式（1.8）可以用线性微分方程来近似：
图1-19 倒立摆
在微分方程相关课程中，相信读者已经学习了线性微分方程。我们知道如何求解线性微分方程，也知道如何用线性微分方程模型控制物理系统。通过倒立摆的控制，即给定测量值
x
（
t
）和
θ
（
t
），可以选择输入值
u
（
t
）以保持摆杆垂直。如果这个基于线性模型的控制器保持|
θ
|和
较小，那么线性模型就是实际倒立摆的一个有效近似，控制器对实际倒立摆也可以正常运行。
我们可以使用拉普拉斯变换将线性微分方程转换为代数方程。在第2章和第3章中，我们将全面回顾拉普拉斯变换。现在我们只关注倒立摆的拉普拉斯传递函数模型，如下所示
