1.2 四旋翼无人机

图1-12所示为一个四旋翼无人机，它基本上由连接在主体上的四个在同一平面、相隔90°的螺旋桨组成。调整每个螺旋桨的转速，可以控制每个螺旋桨产生的推力（气动力）。螺旋桨的转速由控制每个螺旋桨电动机的机载微处理器管理。

首先，让我们看一个连接到电动机的单螺旋桨，如图1-13所示。为了方便讨论，我们视螺旋桨/电动机系统在一个光滑无摩擦表面上。因此，电动机底部可自由滑动或转动，而不会因工作台的任何摩擦而停止。

螺旋桨具有绕旋转轴的转动惯量 J _p ，同时电动机具有绕同一轴的转动惯量 J _m 。如图1-13中曲线箭头所示，如果螺旋桨逆时针旋转，则 ω _p >0，如果电动机顺时针旋转，则 ω _m >0。螺旋桨的角速度用 ω _p 表示，其角动量满足 L _p = J _p ω _p 。电动机的角速度用 ω _m 表示，其角动量满足 L _m = -J _m ω _m 。在没有外力作用于图1-13的电动机-螺旋桨系统的情况下，由角动量守恒原理可知，其总角动量是恒定的，即 L _p + L _m =常数。在起动时，螺旋桨是关闭的，电动机是静止的，因此该常数为零。打开螺旋桨后，我们必须继续保持 L _p + L _m =0，即

因此，如果螺旋桨逆时针旋转，电动机必须顺时针旋转。通常情况下， J _p ≪ J _m ，所以 ω _p ≫ ω _m 。

图1-14所示为飞行中的四旋翼的示意图。单位正交向量 、 表示固定到地球的地球（惯性）坐标系 。 从地面垂直向上， 与地球表面相切并相互正交。有 ，所以 、 形成一个右手坐标系。设 、 是附加在四旋翼（刚体）的单位正交向量，其原点位于四旋翼的质心。单位向量 指向四旋翼的前方，单位向量 指向四旋翼的左侧，单位向量 指向上方（从四旋翼的角度）。请注意， ，因此它们也形成右手坐标系。 是从 坐标系的原点到四旋翼质心的向量，该质心是 坐标系的原点。两组向量都跨越欧几里得三维空间，用 E ³ 表示。

图1-15所示为四旋翼悬停的示意图，即 ，所有螺旋桨以相同的角速度 ω _p 旋转，因此每个螺旋桨都产生相同的向上推力（力） f ，其中 f = mg ， m 为四旋翼的质量。注意在图1-15中，前后螺旋桨逆时针旋转，而左右螺旋桨顺时针旋转。因此，四个螺旋桨绕 轴的总角动量 为零，如下所示

式中， 是螺旋桨的转动惯量。在悬停状态下， =0，四旋翼机体的角动量也必须为零，这样它才不会绕 轴旋转。

由于四旋翼的结构，其推力始终沿 方向。因此，必须旋转四旋翼机体，使其推力的一个分量沿行进方向。这是通过滚转、俯仰和偏航运动实现的。

图1-16显示了四旋翼如何进行滚转运动，即绕其 轴转动。在图1-16中， p 表示四旋翼体绕 轴的角速度。四旋翼向右滚转时，右侧的螺旋桨速度降低Δ ω _p ，其推力随之降低Δ f ，同时左侧螺旋桨的速度增加Δ ω _p ，其推力增加Δ f 。

采用这种方法使四旋翼滚转，四个螺旋桨绕 轴的总角动量 为零，如下所示

通过角动量守恒定律，四旋翼的机体在滚转运动期间不绕 轴旋转。

图1-17显示了四旋翼如何进行俯仰运动，即绕其 轴转动。在图1-17中， q 表示四旋翼绕 轴的角速度。四旋翼向下俯仰时，后螺旋桨的速度增加Δ ω _p ，其推力随之增加Δ f ，同时前螺旋桨的速度减少Δ ω _p ，其推力减小Δ f 。通过这种方式使四旋翼进行俯仰运动，四个螺旋桨绕 轴的总角动量为零，如下所示

在滚转运动的情况下，俯仰操纵期间，四旋翼的机体不围绕 轴旋转。

最后，图1-18显示了如何使四旋翼绕其 轴转动，即偏航运动。在图1-18中， r 表示四旋翼绕 轴的角速度。四旋翼向左偏航（从上方看逆时针）时，前后螺旋桨转速降低Δ ω _p ，每个螺旋桨产生的力随之降低Δ f ，同时左右螺旋桨转速增加Δ ω _p ，每个螺旋桨产生的升力增加Δ f 。与俯仰和滚转运动不同，四个螺旋桨围绕 轴的总角动量不为零。具体地说，它们的总角动量是

L _{z b} 为负值表明螺旋桨的净角动量是顺时针方向的。由于角动量守恒，四旋翼的机体将逆时针旋转（向左）。用 J _b 表示四旋翼绕 轴的转动惯量，其角动量必须为 ，因此 。四旋翼的角速度为