第三节
四种判断之间的关系

一、对当方阵

亚氏所建立的经典形式逻辑一直以“S-P模板”为核心原则，他认为若在判断中用“S-P”这一表示普遍知识的方法来述说实体，就可使两者具有同一性，这种关于实体的述说就是可靠的知识，即真知或真理。若能确立可靠的范畴，就能确定事物的存在方式，从而就可获得对世界的可靠认识，奠定了“形而上学毕因论”的基础。

柏拉图也曾述及S-P主谓结构，但未能从语言理论和逻辑的高度进行论述。亚氏认为，所有语言表达的基本形式就是“S-P逻辑结构”，进而把判断命题中的主项S和谓项P之间的关系看作客观世界中的：

的关系，从而建构起了他的“范畴理论”和“毕因论”哲学。

亚氏主要从语言表达形式层面分析了命题的基本逻辑结构“S-P”，其中的S和P可代表任何具体的事物或概念，因此又叫“概念变项（Conceptual Variable）”。“S（不）是P”这一性质判断式，又叫“直言判断（Categorical Judgment）”或“直言命题（Categorical Proposition）”，指断定某事物是否具有某性质的简单命题，又称为“性质命题”，这是亚氏经典形式逻辑的入门知识。

所谓的“直言”是指在这类判断中对主项与谓项之间范畴关系的断言是直接的，不带任何条件，与直言判断相对的是“假言判断（Hypothetical Judgment）”“选言判断（Disjunctive Judgment）”。注意：英语术语用的是“Categorical（范畴）”，是指谓项被用来“肯定”或“否定”主项所指事物的全部或部分，即所划归的范畴，这与亚氏的“范畴论”相吻合。

根据事物或概念的“质”和“量”这两个维度，直言判断又可细分出“肯定vs否定”“全称vs特称”四小类，它们分别用四个大写的元音字母A、E、I、O来表示：

据此，逻辑推理就可“关起门来”仅依赖四种判断本身的真假值来判断其间的关系。米切尔（Mitchell 1962：33）说：

The formal relations of propositions with identical terms of four forms，A，E，I，O，were represented by traditional logicians by a diagram called the square of opposition.

（传统逻辑学家用一个叫作对当方阵的图来表示具有相同词项的四类命题A、E、I、O之间的形式关系。）

这就有了经典形式逻辑中的“对当方阵（Square of Opposition，又叫：对当关系表、逻辑方阵、逻辑对当图）”，将“S是P”中的“be（是）”进一步细化为四种类型，可根据相同主项和谓项（或说成：同素材的S和P）之间的直言（性质）判断A、E、I、O之间特定的对应关系，即从已知其中一个判断的真假值推知其他命题真假值的一种直接推理（参见金岳霖1979：94）。

这个逻辑对当图表示了四种判断之间的内在关系，根据相同主项和谓项的这四种直言判断（A、E、I、O）的对应关系，从已知判断的真假值推知出其他命题的真假值。这样，逻辑推理就可以“关起门来”依赖四种判断本身的真假值来判断其间的形式关系，而不必考虑其具体的内容。

现据图简述如下：

（1）反对关系（Contrary）：在A与E中，一真，另一必假；一假，另一不定。即两者不可同真，但可同假。

（2）差等关系（Implication 或译：蕴含关系、从属关系）：在A与I，E与O中：若A和E为真（或假），I和O为真（或真假不定）；若I和O为真，A和E不定。若I和O为假，则A和E为假，A蕴含I，或E蕴含O，它们可同真假，即若两个前者为真，两个后者必为真；若两个前者为假，两个后者必为假。

（3）矛盾关系（Contradiction）：在A与O中，E和I中，若A和E为真，O和I为假；反之，A和E为假，O和I为真，两者不可同真假，即一个为真，另一必为假。

（4）下反对关系（Subcontrary）：在I与O中，一假，另一必真；一真，另一不定。即两者可同真，不可同假。

可列表比较如下：

一个简单的对当方阵，其中包含了A、E、I、O两两之间的关系共有24种，上表共列出8行，每行包含了三种关系，如第一行中的前提分别与后面三者之间的关系。只要我们记住图1. 1四种基本关系及其判断之间的真假制约原理，便可十分自如地进行直接推理了。我们还可以公式表达如下，如根据表1. 4第一行可记作：

[33] SAP→~SEP

[34] SAP→SIP

[35] SAP→~SOP

根据表1. 4第二行可记作：

[36]~SAP→？SEP

[37]~SAP→？SIP

[38]~SAP→SOP

余者同上，不再一一列述。

二、欧拉图

为了能更好地说明逻辑对当表的蕴含和增加关系，逻辑学界常用瑞士的大数学家欧拉（L. Euler 1707—1783）所设计的图来解释S和P之间的关系，又叫“欧拉图”。在客观世界中，S类与P类之间主要有以下五种关系：

图1. 6表明S和P两个范畴没有共同的外延，这其中又分两种情况：

（1）矛盾关系：S和P的外延之和等于它们的属概念的外延；

（2）反对关系：S和P的外延之和小于它们的属概念的外延。

这两种关系可图示如下：

现借用前述5个图来解释：客观世界中S类与P类有哪种关系时，A、E、I、O是真的还是假的。

A判断表明“所有S都是P”的全称判断，断定了S类的所有要素都是P类中的成员。若S类和P类有属于图1. 2或1. 3情形时，S和P有全同关系或下属关系，此时A判断就是真的。若S和P有图1. 4、1. 5或1. 6的关系时，那么，A就是假的。

E判断表明“所有S都不是P”，断定了S类的任何要素都不是P类成员，即该判断表明S与P没有任何一个共同成员。因此，在客观世界中只有当S与P有图1. 6的关系时，E才是真的。若在客观世界中，S和P有图1. 2、1. 3、1. 4或1. 5的关系时，E就是假的。

I判断表明“有的S是P”，断定了S类中有的要素同时是P类分子，但究竟S中有多少是P分子，I判断没明确断定。因此，不论是多到S类的全部要素都同时是P类成员，或少到S类中只有一个要素同时是P类成员，I都是真的。因此，在客观世界中当S与P有图1. 2、1. 3、1. 4或1. 5的关系时，I都是真的；只有当S与P有图1. 6关系时，I才是假的。

O判断表明“有的S不是P”，断定了S类中有的要素不是P类成员，但究竟S类中有多少要素不是P类成员，该判断没有明确断定。不管多到S类中的全部要素都不是P类成员，或少到S类中只有一个要素不是P类成员，O都是真的。因此，在客观世界中当S与P有图1. 4、1. 5或1. 6的关系时，O都是真的；只有当S与P有图1. 2或1. 3关系时，O才是假的。

三、四种判断的真值

A、E、I与O这四种判断之间的真假关系，是根据这四种判断本身的真假情形来决定的，主要从主项和谓项的外延上看它们所代表的类与类之间的关系是否合乎真实情况。现按照上文所述，结合欧拉图论述如下：

1. A和E处于上反对关系时的真假值

当A为真，客观世界中S与P有图1. 2或1. 3的关系，此时E一定是假的。当A为假，客观世界中S与P有图1. 4、1. 5或1. 6的关系，此时E不一定是假的，也可能为真的。

当E为真，客观世界中S与P有图1. 6关系，此时A一定为假。当E为假，客观世界中S与P有图1. 2、1. 3、1. 4或1. 5的关系，此时A可真可假。

因此，A与E之间的真假关系可概述为：其中一个真，则另一个假，但是，其中一个假，则另一个真假不定，此即为对当图中的“反对关系”。

2. A与I处于差等关系时的真假值

当A为真，客观世界中S与P有图1. 2或1. 3的关系，此时I一定也是真的。当A为假，客观世界中的S与P有图1. 4、1. 5或1. 6的关系，此时I真假不定。

当I为真，客观世界中S与P有图1. 2、1. 3、1. 4或1. 5的关系，此时A可真可假。当I为假，客观世界中S与P有图1. 6关系，此时A一定是假。

因此，A与I之间的真假关系可概述为：当A真，I一定真；当A假，I真假不定。当I假时，A一定假；当I真时，A真假不定。此为对当图中的“差等关系”。

E与O之间也具有差等关系，其真假关系同A与I之间的真假关系。

3. A与O处于矛盾关系时的真假值

当A为真，S与P有图1. 2或1. 3的关系，O为假。当A为假，S与P有图1. 4、1. 5或1. 6的关系，O为真。

因此，A与O之间的真假关系可概括为：其中一个真则另一个假，一个假则另一个真。此即为对当图中的“矛盾关系”。

E与I之间也处于矛盾关系，其真假关系同A与O之间的真假关系。

4. I和O处于下反对关系时的真假值

当I为真时，S与P有图1. 2、1. 3、1. 4或1. 5的关系，此时O可真可假。当I为假时，S与P有图1. 6关系，此时O一定为真。

当O为真时，S与P有图1. 4、1. 5或1. 6的关系，此时I可真可假。当O为假时，S与P有图1. 2或1. 3的关系，此时I一定为真。

因此，I和O的真假关系可概括为：其中一个真，则另一个的真假不定；其中一个假，则另一个一定为真，这就是逻辑对当图中的“下反对关系”。

现将A、E、I、O四种判断与欧拉图之间的真值关系表示如下：

亚氏的上述理论在学界流行了2000多年，其间有很多学者不断加以挖掘、补充和发展。特别值得一提的是培根的“归纳法”，后经密尔（J. S. Mill 1806—1873）和耶方斯（Jevons 1835—1882）的大力推荐和丰富而逐步得以流行。汉密尔顿（W.Hamilton 1788—1856）和德摩根（De Morgan 1806—1871）还进一步丰富了亚氏的“对当方阵”，前者认为也应“量化”宾语，即可将量词置于宾词之前，如“所有S是所有P”“所有S是有些P ^① ”等；后者主张也应“质化”主项，即否定词也可置于主项之前，如“所有非S是P”“有些非S不是P”等。从而大大丰富了亚氏的传统逻辑。

直到19世纪末弗雷格（G. Frege 1848—1925）、罗素（Russell 1872—1970）、维特根斯坦（Wittgenstein 1889—1951）等才发现亚氏经典形式逻辑之诸多弊端，且在此基础上引入“函数概念”，始将莱布尼茨所拟构的思维演算付诸实施，实质性地创建了现代数理逻辑，主要包括：谓词演算（Predicate Calculus）、命题演算（Propositional Calculus）。

① 由于在S-P模板中没有标出“宾词”，将其融合在P中了，这里就由P来指宾词。 MDAl3JOSZKdWH0RAtxCBBCP0OKqzN20sYn9haxFxxViYLAXyd0Rx8J4RJkPKFuAE