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弗雷格于1879年发表了《概念文字——一种模仿算术语言构造的纯思维的形式语言》，标志着现代形式逻辑（即一阶逻辑）的诞生，因而被尊称为分析哲学之父。弗雷格于1884年在《算术基础》中定义了1、0和后继概念，确立了形式数学的基础。他于1893年在《算术的基本规律》（第一卷）中建立了一阶逻辑的公理系统。弗雷格认为，逻辑推理的过程必须是完美无缺的，而自然语言不完善，不能担此大任。也就是说，用具有模糊性的自然语言来研究追求可靠精确的哲学理论，可谓文不对题，用错了工具。只有建构一种可靠的形式语言才能达到此目的。他的论文可算是一场革命，树立了一座光辉的里程碑，其具体进路参见下文。流行了2000多年的亚氏经典形式逻辑，直到19世纪末终于在弗雷格等学者的努力下，揭开其被人遗忘的缺陷：
（1）在传统毕因论（本体论）形而上学的体系中，亚里士多德主要关注的是“实体”，它位列十大范畴之首，在命题中充当主项（或在句子中充当主语），其他九大范畴仅用作命题的谓项（或用作句子的谓语），用来描写作主项（或主语）的实体的性质。可是，在很多情况下句子的意义并不主要来自主项，而是由谓项部分所提供的。句首出现的多为已知信息，其后才出现新信息。
（2）亚氏通过分析语句的结构形式建立了“主项—谓项结构（学界常称之为S-P模板）”，且据此论述了“实体—属性、个别—一般、殊相—共相、主体—客体”等西方哲学中的关键术语。但人们发现：同一个“S-P模板”可能会隐含若干不同的逻辑关系，这就是后来罗素和乔姆斯基所说的“同一个表层结构（Surface Structure）可能会隐藏多个不同的深层结构（Deep Structure）”。
（3）亚氏启用了符号化方式来揭示逻辑推理的形式，以能清楚地说明什么是“必然地推导出”，但其形式化程度很不彻底，如在他著名的“三段论（Syllogism）”中还主要用自然语句来表达命题和演绎思维的形式规律。且它还与心理学、认识论等哲学内容交织在一起，表达不很清晰，这就为现代形式逻辑的出场做好了铺垫。
鉴于上述缺陷，弗雷格引入数学中的函数理论，且用函项表达式来取代经典形式逻辑中的S-P模板。
亚里士多德的毕因论（本体论）哲学观主要体现在他的S-P模板中，认为只要符合该模板就是正确的命题，也就是人类所追求的真知，从而可实现“透过现象看本质”这一形而上学的根本目标。但是这一模板解释力太强，过于宽泛，不考虑语句意义是否符合真实世界的实际情况，也不考虑逻辑上的可推导性，特别是该模板的S还包含抽象性实体，从而导致了哲学中出现了诸多似是而非的伪命题。例如：下列几个语句都符合S-P模板，但都是些不知是非，难辨真假的语句：
[1] 当今法国国王是秃头。
[2] 金山不存在。
[3] 真理是放之四海皆准的理论。
[4] 阶级斗争不以人们的意志为转移。
[5] 客观世界存在本质。
……
语言哲学家们认为，A、E、I、O四种判断断定了“S这类事物”与“P这个性质”之间的关系，此时就当预设主项S所表事物的存在，然后才可对其作出P判断，否则我们如何言谈它。倘若S所表事物不存在，该对当表就不能成立。因此我们一旦在命题中说出S时，它就该存在，这就涉及语言哲学家们热议的例 [1] 和 [2]，命题主项部分的“当今法国国王”和“金山”在现实世界中找不到其对应的指称对象，前者没有实际指称，因为法国现在是共和国，没有国王；后者也是人为拟想之物，自然界不存在。例 [3] 和 [4] 中的S“真理”“阶级斗争”不是客观事物，而是理性思维的产物，用全称命题表述它们时难以实证，例 [5] 所述命题也是人为拟构的，无法被事实所证明。
为此弗雷格想到了保证语句为真的检验标准，可借用函数理论中的y值来解释语句的真假值，故而提出了：
[6] SP = y
的研究思路（参见下文），这里的y就是基于“逻辑实证论（Logical Positivism）”所奉行的基本原则：
the isomorphism between language and the world（语言与世界同构）
这也可称为“逻实论语义观（Logical Positivist Semantics）”，即任何一个由S-P模板所建构起来的命题，只有它可被证实（此为实证观），或逻辑上可推导出其成立（为“逻辑”二字的含义）的时候，它才有意义，才能确保不会出现诸如上述形而上学的伪命题。
据此，我们认为理想语哲学派的逻实论中既有“经验论（Empiricism）”的基本立场，也有“唯理论（Rationalism）”的观点，这也可视为是将传统哲学中这两大学派相结合，对它们做中庸处理的最好成果之一。
过往形而上学理论之所以会出现若干伪命题，是因为没有考虑到y值。有了y值，就能保证S-P命题具有真假值，便可杜绝伪命题，有效地解释毕因论和认知论为何总会产生形而上学伪命题的现象，这就在西方哲学中引出了一个全新的“语言论转向（the Linguistic Turn）”，参见Rorty（1967）。
弗雷格在其一阶逻辑中首先区分了“概念（Concept，又叫Sense，Sinn）”和“对象（Object，又叫Referent，Bedeutung）”，命题的意义就是它的概念，即谓词部分，如下文 [20] 所示；对象x为命题的主项，须有确切指称，才能杜绝那些伪命题。命题的所指就是它的真值（包括真和假），即 [6] 中的y，弗雷格的意义理论就是围绕这一论题展开的。
他发现“概念”和“函数”具有很多共同性质，于是就想到了用函数关系来形式化地表示概念关系，企图用函数的内部结构来说明概念的内部结构，从而将函数理论引入了哲学和逻辑。
“函数”为莱布尼茨所首用，英语为“function”，原意为“作用”，在此处意为“在给定规则的作用下”，函数的基本公式为：
在集合A中的任一元素x，在给定规则ƒ的作用下，总可以得到集合B中唯一的一个元素y与其对应，ƒ称为A中的函数，x称为ƒ的自变元（或自变项），y称为ƒ的值或应变元（或依变元、应变项、依变项），即等号两边具有“随一个变元而变化的对应关系”。也就是说，在此公式中有两个变量x和y，对于x的每一个值，都有唯一的一个y值与x对应，y就是x的函数，数学中常用 [7] 来表示。
由于自变项x可带入任何数值，它的最大特征是“不饱和的（Unsaturated）”或具有“不饱和性（Unsaturatedness）”，但x在取值时也有一定的范围，这就叫作“函数的值域”。等式左边的“ƒ （x） ”中的x表示未知数，具有不确定性，因此ƒ （x） 是“不完全的”或“不饱和的”，需要填入一个确定的个体对象，这个函数表达式才确定，才有具体的意义。该式的左边就相当于亚里士多德的S-P模板。由于亚氏为了论证他的“毕因论（本体论）”哲学立场，认为主项S比谓项P更重要，因此S在P的前面。而弗雷格则认为谓项P比主项S更重要，故将相当于谓项的ƒ置于前面，且称这类语义公式为“谓词演算”。它在实际使用时，P常用大写字母表示，置于式子的最前面，个体词用小写字母（常项用a、b、c；变项用x、y、z）表示，置于谓词后面。如自然语句：
[8] John is a man.
可记作（用大写字母M表示谓词 be a man；用a表示John）：
[9] M（a）或M a
该式表明：填入的a必须使整个表达式y具有真值（只要有真值就是有意义的），即a的取值范围必须使得y具有真值时，这个a才可填入，M（a）才有意义，从而可反证这个a的存在。
我们也可将“函数”本身视为一个无特定内容的“空符号”，它缺乏确切的数值或意义，具有“不完整性”，需由一个自变项来定位，此时函数才有真值y。“概念”也是这样，本身是虚空的，无确切的具体对象，需由一个作为自变项x的“对象（Object）”或“所指对象（Referent）”来补充，这个所指对象就可使概念取得真值。据此，弗雷格独具慧眼，引入了算术中的函数和自变项，确立了概念的函数特征，而不再仅仅依赖亚氏的S-P模板（即主项和谓项结构）来分析语句（因同样的主谓句可掩盖不同的逻辑关系），成功地建立了数理逻辑的雏形，用一套“关系符号”和“数学符号”来建构一种形式化语言，这就是为什么学界也将其称为“数理逻辑”的原因之一。
弗雷格的具体操作方法如下：先引入符号“┝”，表示“对……思想作出判断”，横线表示“思想”本身（又叫：内容线、内容横线、句根），相当于Sense；竖线表示判断（又叫：判断杠、判断记号），意为“所表达的内容是真的”，相当于Reference。这里用横线和竖线就能很好地体现弗雷格区分Sense 和Reference的基本立场。我们可用“x”表示x的思想，但不表示判断；若要“对x的思想作出判断”，就要记作：
若将其记作：
则意为：凡x都是F。在两横线下加两根短竖线，可表示否定：
该式意为“并非所有的x都不是F”，即“有x是F。”
传统逻辑学所论述的顺序为“概念、判断、推理、论证”（参见金岳霖1979；杭州大学等十院校《逻辑学》编写组1980），而弗雷格将“判断”置于开头，先研究判断与判断之间的关系，据此先构建了“命题演算”，再建“谓词演算（又叫：狭义纯逻辑演算）”，但本书拟先讲谓词演算，便于初学者入门。
若表示“以 x 为自变项、且具有Φ性质的函数”，其判断公式可记作：
读作“判断x有Φ性质”。若要表示两个名称之间的关系，就可设立两个自变项，可记作：
表示“以 x 和 y 为自变项的函数”，意为“x 与 y 有关系Ψ”。
若用L表示“逻辑学家”，用x表示个体变项，再简化掉开头的符号┝ ① ，便可得到我们当今常用的谓词演算公式：
它相当于自然语言中的“开语句（Open Sentence）”：
[16] x是语言学家。
未知数x可带入若干名词性词语使其成真。[16] 是一个命题函项，代入不同的专名后就可获得如下具体命题，即“闭语句（Close Sentence）”，如：
[17] 索绪尔是语言学家。
[18] 乔姆斯基是语言学家。
[19] 吕叔湘是语言学家。
……
若将例 [16]中的“语言学家”换成一个变量，用来表示任一谓词属性，用F来表示，就可得到下一式子：
[20] F （x）
若有两个变量，这可记作：
[21] F （x，z）
该式可表示若干自然语句，如：
[22] 伦敦是英国的首都。
此时“F =……是……首都”，“x =伦敦，z = 英国”。
因此，[20] 和 [21] 就是用以表示任何“判断语句”的总公式，它是基于例 [7]的函数表达式“ƒ （x） = y”发展而来的，用其便可取代亚氏的S-P模板，同时也否定了亚氏以S为主的本体论观点，突出了P的功能。
倘若 [20] 和 [21] 所表达的意义为真或假，此时表达式就有一个y值，则符合“ƒ （x） = y”函数式的条件，此时它们就是一个有意义的表达式。若没有一个y值，这个表达式就是一个似是而非（plausible，neither true nor false）的“伪命题”，没有真值，语言哲学家认为，这类表达式当从形而上学的研究中剔除出去。
可见，仅符合S-P模板不足以为唯一凭证来保证人类的真知，还必须考虑其有没有真值（即y）的问题！又如例 [1] 至 [5] 的一组例子，它们都不能被证明为真或假，它们都是些似是而非的伪命题，当将它们转为函数式 f （x） 时，都没有对应的y值，这就为哲学研究提供了一个能有效识别伪命题的依据。
就这样，弗雷格将数学中的函数理论引入到哲学研究的概念判断之中，并以其取代亚氏的S-P模板，建立起数理逻辑的基础。罗素和维特根斯坦也是顺其思路建立了他们的理论。
传统哲学家大多接受了亚氏的S-P模板，且还有很多学者进一步论述了能充当“S-P结构”的具体词语所具有的性质，认为“S-P（主项—谓项）”与诸如“殊相—共相、个别—一般、实体—属性、外延—内涵”等之间存在对应关系（参见Strawson 1959，江怡译2004：134，151），如：
下文重点论述弗雷格的观点。
弗雷格认为，个体词（或叫：主词、对象词、专指语、专名）具有唯一性，表示特定的个别对象，具有完全性（饱和性），它仅作命题的主词；概念词是不完全的或不饱和的，仅可作命题的谓词，后者是对前者的断定或论述（Strawson 1959，江怡译2004：101，109），这与亚里士多德在“本体论”中用“主项—谓项（S-P）”来表示语句基本模板的思路虽有相通之处，但却比亚氏迈出了划时代的一大步：
（1）“S-P模板”中的S可用任何类型的名词。这里的S包括具体性或抽象性的、对象性或概念性的，确指性或不确指性的词语都可以。但在弗雷格的“个体词—概念词”结构中充当主词的必须是具有唯一性的对象词（专指语或专名），因此我们不能仿照下文的例 [23] 说出“文学家爱林黛玉”之类的句子，因为在格雷格看来“文学家”本身是一个“概念词”，而不是“对象”。他所说的对象是个体词，必须由专名或专指语来表示。
同理，例 [16] 中的x不可代入“爱好语言的人”之类的词语，因为它不是专指语或专名，而是概念词，本身也体现了诸如 [16] 的概念结构。因为在弗雷格看来，倘若将“概念词”用作命题的主词，就会把不存在的概念实体化，从而造成了语言的混乱，形而上学中若干伪命题就是由此而产生的。这就引出了罗素（1903，1905）的“摹状语论（Description Theory）”，将无实指对象视为“不饱和摹状语”，如“当今法国国王、金山、飞马”等，它们可化解成谓词，以便能揭示同一个“S-P结构”可隐藏不同的逻辑结构。
（2）S与P之间包含着复杂多变的语义关系。可见，若仅从句法角度来说，同一个“S-P结构”既可表示判断（主系表）语义关系，还可表示其他若干语义关系，如：
[23] 贾宝玉爱林黛玉。
[24] 贾宝玉叫来林黛玉。
[25] 贾宝玉出家了。
它们的表层句法结构相同，即共享同一个“S-P结构”，但不能区分出“动作”和“关系”等性质，可见它们的深层逻辑结构是不同的。若用数理逻辑来揭示它们的深层逻辑结构——用不同的大写字母代替上述三个例句中的谓词，则可见其差异，这三例可分别记作：
这样便可见这三个例句尽管共享相同的句法结构，但其深层逻辑结构不同。
另外，传统语法将上述例子都分析为“主谓”或“主谓宾”结构，并不能说明多少问题，而弗雷格则认为这掩盖了谓词的复杂性，它既可表示一元关系，也能体现二元关系，还能反映三元关系。
（3）判断标准不同。判断“S-P结构”的正误是以传统形式逻辑为基准的，而弗雷格的“对象词—概念词”判断标准是基于“真值”的，以“判断为真”作为所指的真值，充分体现了外延逻辑的思路。这就要求填入ƒ （x） 中的x必须确有所指，它应当是专指语或专名，以能确保“语言与世界同构”原则有效实施，一阶逻辑就是以此原则为基础的，这就是学界为什么常说弗雷格意义理论中包含了一个“专名理论”的原因。
“判断为真”的基础为“命题”（表现为句子），而一个对象词（专指语或专名）或一个概念词，本身无所谓真或假，只有将一个对象词与一个概念词组合后，才有真假可言。[16] 无真假，只有填入对象词后才行，若填入“王力”则为真；若填入“贾宝玉”则为假；若填入“上帝”，则似是而非。传统观点一直认为，意义的基本单位是主项（名词），由于客观外界存在这个主项所指的对象，于是乎这个主项所在的句子就有了意义。数理逻辑学家认为，这一观点不对，句义主要落在P，而不是S。如依据上文例 [21]、[22]，我们可以获得很多类似的语句，如：
[29] 纽约是美国的首都。
[30] 巴黎是法国的首都。
……
可见，决定这些句子意义的不是那些名词变项，而在于句子逻辑上的谓词结构。
（4）吸取了函数理论的精髓。用专名或专指语为对象词作自变项，它自身具有饱和性，而函数却是不饱和的，它须根据自变项的变化而获得一个对应的值，即在ƒ （x） = y中，x是自变项，y为因变项，y的值随着x的变化而变化。用饱和的自变项来补充函数就可使其成为饱和的或完整的，基于这一数学原理所建构出命题或句子的基本结构即为“谓词和专名”，谓词是不饱和的，专名（包括“数”）是饱和的，用后者来补充前者才能形成一个饱和的整体。这一分析方案显然比“S-P模板”更为深入和细致。
（5）传统逻辑虽区分出了“全称命题 vs 特称命题”，但对于一个个体函项 ① 的“量”未能作出满意说明。换句话说，适用于诸如例 [16] 中谓词的对象词应有一个取值范围，这个范围可通过“量词（Quantifier）”对其作出深刻的描写。而数理逻辑所建立的量化形式意在解决这一问题（详见下文）。
① 维氏认为，逻辑所关心的只是未加判断的命题，因此弗雷格的判断线“┝”从逻辑上讲没有任何意义，因此可以取消（参见韩林合2007:268）。
① 在数学界将function译为“函数”，而在逻辑学界常将其译为“函项”，参见周礼全1994：41。