下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
始于2000多年前的古希腊形式逻辑学，经过众多学者的整理、补充和发展，逐步臻于健全，现已与众多学科相结合，形成一个庞大的“现代逻辑学科群”，据说现已有100至200个分支学科（刘文君1999：187），但是其发展线索还是较为简单和清晰：
（1）亚氏在《工具论》中创立了“传统形式逻辑（或叫：演绎逻辑、普通逻辑、形式逻辑）”。
（2）培根在《新工具》中提出了根本不同于亚氏演绎逻辑的“归纳逻辑”，具体阐述了收集和整理经验材料的“三表法（本质和具有表、缺乏表、程度表）”；密尔将这两种逻辑统称为“逻辑系统”，且基于经验论立场重在继承和发展培根的归纳逻辑，更系统地阐述了寻求现象之间因果联系的五种基本方法：求同法、求异法、求同异法、共变法、剩余法。我国逻辑学家所编撰的同类著作中对两种逻辑都有论述，参见金岳霖（1979）、吴家国（2000）。
（3）数理逻辑滥觞于莱布尼茨（Leibniz 1646—1716），真正付诸实践并建立体系的是：弗雷格（Frege 1848—1925）、怀特海（Whitehead 1861—1947）、罗素（Russell 1872—1970）、维特根斯坦（Wittgenstein 1889—1951）、希尔伯特（Hilbert 1862—1943）、赖辛巴赫（Reichenbach 1891—1953）、塔尔斯基（Tarski 1902—1983）、卢卡西维茨（Luckasiewicz 1878—1956）、卡尔纳普（Carnap 1891—1970）、刘易斯（C. I. Lewis 1883—1964）、扎德（Z.A. Zadeh 1921—2017）、克里普克（Kripke 1940—）等在反思经典形式逻辑之不足的基础上，相继创立、发展和健全了现代形式逻辑系统。
现将西方逻辑学大纲图示如下，以飨读者：
图2. 1
本书第一章简要介绍了经典形式逻辑的主体内容，它基于演绎法从思维的形式结构来研究命题形式、思维规律和推理有效性，但不考虑思想的具体内容，也无法考虑，因其涉及人类的百科知识，所用工具是“部分语言 + 数学公式”。它是现代形式逻辑的基本出发点，只有晓其初衷，方能识得现代形式逻辑之要旨。
培根（Bacon 1561—1626），曾被马克思称为“英国唯物主义和整个现代实验科学的真正始祖”，极力主张将归纳逻辑视为是认识事物的唯一方法，走了一条与亚氏演绎逻辑相反的道路，从个体求得一般 ② 。而且他还认为科学的一切基本原理都是靠归纳方法获得的（参见严复翻译Mill《穆勒名学》的出版说明1981：v）。因此，他所提出的著名口号“知识就是力量”强调的也是来自于实践的、归纳而出的知识。
密尔（J. S. Mill 1806—1873）继承并发展了培根的归纳逻辑，将其提高到一个新高度。但是学者们清醒地认识到在人们论证时不可能或难以穷尽所有的个体，然后再来获得一个全称命题，求得一般规律。其实，休谟（D. Hume 1711—1776）早就对归纳逻辑提出了根本性质疑，分别在1739年的《人性论》和1748年的《人类理解研究》中提出“归纳的合理性及其辩护问题”，学界称其为“休谟问题”。罗素后来也曾以拟人化的“火鸡”为例质疑归纳逻辑的合理性，农场饲养的火鸡经过若干天的观察后归纳出一条规律：主人打铃后就给我喂食，但到了圣诞节前夕，主人打铃后却将其宰杀、烹调，送上了餐桌。很多哲学家认为，归纳法无法获得哲学理论上的支持，因此休谟将其归于非理性的和非逻辑的“习惯”，因此学界就有了“归纳法是自然科学的胜利，却是哲学的耻辱。”（参见陈波2002:199）
但尽管如此，当今更多的学者大多主张将两种逻辑结合起来，以能相互取长补短，相得益彰。正如恩格斯（Engles 1925，编译局译1971：206）在《自然辩证法》中所指出的：
归纳和演绎，正如分析和综合一样，是必然相互联系着的，不应当牺牲一个而把另一个捧到天上去，应当把每一个都用到该用的地方，而要做到这一点，就只有注意它们的相互联系，它们的相互补充。
纵观当前国内外有关普通逻辑学的教材和论著，大多循此思路编撰的。
黑格尔所倡导的“辩证逻辑”则采取了与经典形式逻辑不同的思路 ① ，主要基于事物的联系和发展，以动态范畴化为原则，辩证地研究思维的构成、过程及其规律（该术语对立于黑格尔系统的“形而上学”），关注人们的思维和认识如何对客观外界的运动、变化、发展做出正确的反映，关注各种思维形式在认识发展过程中的联系和变化，并将其由低级到高级组织成一个有机体系。因此黑格尔认为逻辑学不应仅关注思维的形式和演绎的抽象规律。而形式逻辑则基于静态范畴研究思维的形式如何反映客观外界，将它们毫无关联地平行排列起来。古希腊（包括我国古代）学者都曾论述过朴素的辩证逻辑思想，康德基于先验唯心论也述及了有关辩证思想。但辩证逻辑之集大成者当为德国的著名哲学家黑格尔（G. W. F. Hegel 1770—1831），代表作为《大逻辑》（又译：《逻辑学》《逻辑科学》）、《小逻辑》。肖尔兹（Scholz 1931，张家龙等译1993：16）评价道：
他是一个思想界大转折的重要人物，所以事情就很奇特，他严厉地批评亚里士多德的形式逻辑，直到完全否定它。其结果是，他毕生的大量著作都带有这种严重的不祥的气氛。由于黑格尔的哲学在世界范围内的流传，他的逻辑概念直到今天还相当显著地阻碍着对亚里士多德意义的逻辑进行认真研究。
马克思（K. Marx 1818—1883）批判吸取了黑格尔论著中的合理内核，创建了“辩证唯物主义（Dialectical Materialism）”和“历史唯物主义（Historical Materialism）”，他在《资本论》中基于唯物论立场论述了逻辑和辩证法等基本原则。恩格斯（Engels 1820—1895）于1876年创作了《自然辩证法》（编译局译1971）一书，对辩证法的主要内容也有较为详细的论述。列宁（V. I. Lenin 1870—1924）、毛泽东（1893—1976）也对其做出了进一步的阐述。
现代形式逻辑，既是数学的一个分支，又是逻辑学的一个分支，对经典形式逻辑做出了重要的发展和完善，主张完全用“特制符号”和“数学方法”来表示其中的“概念、判断、推理、论证”这四项内容，这相对于亚氏的半语言化的公式（因其在三段论中还借用了部分自然语词），只有这种逻辑类型才称得上“真正”的形式逻辑，主要依据形式化方法建立的逻辑体系。本书所论述的现代形式逻辑主要有“数理逻辑（包括：命题演算和谓词演算 ① ）”和“内涵逻辑（狭义模态逻辑、广义模态逻辑，后者包括：可证性逻辑、认识逻辑、道义逻辑、时态逻辑）”等。
下文拟将现代形式逻辑约300年从萌芽到发展和成型的简史列述如下表，以使读者能有一个明晰的线条（C表示“世纪”）：
表2. 1
英国经验派哲学家霍布斯（T. Hobbes 1588—1679）曾述及过“推理就是计算”的观点，认为可将思维解释成某些数字和符号的推演。莫绍揆（1980b：3）认为数理逻辑的创始人共有三人：莱布尼茨、布尔和弗雷格。因此，现代数理逻辑都是从莱布尼茨说起的。
逻辑数学化的滥觞者首推德国哲学家兼数学家莱布尼茨（G. W. Leibniz 1646—1716），他使得亚氏的传统逻辑开始了新生，大力倡导用符号和数学的方法来表示概念，研究逻辑，这既是数学的分支，也是逻辑学的分支，从而开创了数理逻辑的萌芽时期。他曾提出了“Alphabet of Human Thought（人类思想字母表）”和“Universal Symbolic Language（普遍性符号语言）”的思路，可望发现人类思想的基本要素，这便是当今结构主义语义学中所论述的“Componential Analysis（语义成分分析法，简称CA）”，用它们的组合来表示语言中的可能概念，且可用数学演算的方法来说明逻辑推理的过程（又叫：逻辑的数学化），使得传统逻辑学完全符号化，将“逻辑推理”改造为“演绎推理”，这样就能名副其实地称之为“形式逻辑”，可避免自然语言的模糊性，准确地表达思想和有效地进行推理。莱布尼茨说（参见Scholz 1931，张学龙1977：54）：
我们要造成这样的一个结果，使得所有推理的错误都只成为计算的错误。这样，当争论发生的时候，两个哲学家同两个计算家一样，用不着辩论，只要把笔拿在手里，并且在算盘面前坐下，两个人面面相觑地说：让我们来计算一下吧！
因此莱布尼茨常被视为现代形式逻辑的先驱或创始人，他的论著中孕育着数理逻辑的重要理论基础，数理逻辑的发展也完全符合和较好实现了莱布尼茨当初的设想。用肖尔兹（Scholz 1931，张家龙等译1993：48）的话来说，人们提起莱布尼茨的名字，好像是谈到日出一样，正是他使得亚氏逻辑获得了新生。
莱布尼茨提出设想，勾画蓝图，提出了逻辑数学化的基本方向，做了部分具体的工作，但终因事务较多，未能全面将其付诸实践。正如肖尔兹（Scholz 1931，张家龙等译1993：54）所指出的：
确实，莱布尼茨没有留下一个完成了的逻辑系统。我们具有的东西本质上只是一个卓越的残篇。根据这些我们能重新构造他关于这种逻辑类型的概念。完成这样的逻辑系统是很巨大的工作。
英国哲学家兼逻辑学家罗素（Russell 1946，马元德译（下卷）1976：119）在《西方哲学史》中对莱布尼茨也做出了确如其分的评述：
他对数理逻辑有研究，研究成绩他当初假使发表了，会重要之至；那么，他就会成为数理逻辑的始祖，而这门科学也就比实际上提早一个半世纪问世。他所以不发表的原因是，他不断发现证据，表明亚里士多德的三段论之说在某些点上是错误的；他对亚里士多德的尊崇使他难以相信这件事，于是他误认为错误必定在自己。尽管如此，他毕生仍旧怀着希望，想发现一种普遍化数学，他称之为“Characteristica Universalis（万能数学）”，能用来以计算代替思考。
另外，我们还知道莱布尼茨在数学中的另一重要贡献：与笛卡尔（Descartes 1596—1650）、牛顿（Newton 1643—1727）、拉格朗日（Lagrange 1736—1813）、柯西（Cauchy 1789—1857）、康托尔（Cantor 1845—1918）、皮亚诺（Peano 1858—1932）共同发展了微积分。莱布尼茨还在《论形而上学》中首次提出“可能世界”和“充足理由律”，且将后者与“矛盾律”视为人类理性的两大基础。
自莱布尼茨提出逻辑数学化的思路之后，数理逻辑又经过了下列学者的补充和发展：
（1）英国逻辑学家德摩根（De Morgen 1806—1871）对“关系代数（Relational Algebra又叫：关系演算Relational Calculus、关系逻辑Relational Logics）”做出了突出的贡献，摆脱了亚氏S-P模板（研究S具有P性质）的束缚，突出了关系性概念。德摩根严厉批评了亚氏的S-P模板，这显然对弗雷格产生了重大影响。
（2）英国数学家兼逻辑学家布尔（Boole 1815—1864）建构的“布尔代数（Boole Algebra）”或“逻辑代数（Logical Algebra）”，发现逻辑关系和某些数学运算甚为类似，主张将代数运算的方法推广到逻辑领域，用以表示逻辑的演算，即用演算性的符号表达式来表达逻辑推理的法则。他被称为对数理逻辑做出重要贡献的第二人（莱布尼茨为第一人）。
（3）英国逻辑学家耶方斯（Jevons 1835—1882）进一步发展了布尔代数，使其更为简洁和明白。他于1876年出版的名著“Primer of Logic”被严复（1909）译为汉语后，便留在中国学界的青史之中。
（4）英国逻辑学家文恩（Venn 1834—1923）继承和发展了欧拉所画的图（参见第一章），勾画了“文恩圆圈图”来表示布尔代数中的一些理论，使其更为清晰。
（5）美国逻辑学家柏斯（Peirce 1839—1914）进一步发展了关系逻辑，将其视为关系演算，提出了“逻辑加、逻辑乘、逻辑减、逻辑除”等术语，使得布尔代数更具解释力。
（6）英国逻辑学家麦柯尔（McColl 1837—1909）倡导用一个字母来表示整体命题的思路对数理逻辑做出了一大贡献（莫绍揆1980a：17）。他继而通过建立命题代数系统，进一步发展了布尔的逻辑代数，使得命题演算从类演算中独立出来。
（7）德国逻辑学家施罗德（Schroder 1841—1902）总结前人的有关成果，出版了洋洋大观的《逻辑代数讲演录》，对关系逻辑做出了重要的和详尽的处理，将布尔的研究推向顶峰，大大发展了新的逻辑类型。
（8）德国数学家康托尔（Cantor 1845—1918）为集合论的创建者，给出了无理数的定义，研究了无穷集（如自然数集和连续统），提出了康托尔公理：直线上的每个点都有对应的实数。他还提出了幂集定理（又叫康托尔定理）等，并重新定义“实数”，据此推出了极限论，这为微积分建立了牢固的理论基础。
（9）皮亚诺（Peano 1858—1932）于1894年出版了《数学公式》一书，尝试用亦已建成的命题演算和谓词演算的成果来表述数学、推导数学，为数学建立逻辑学的基础迈出了重要的一步。今天我们所用的符号基本上得由他所制定的。
（10）德国的数学家兼逻辑学家希尔伯特（Hilbert 1862—1943）继承了前人的研究成果（如欧几里得的《几何原本》），在《几何基础》中建构了几何的形式公理系统，发展了“彻底公理化”的逻辑研究方法 ① ，确立了“证明论”的地位。他还倡导用模型论来证明一组公理的一致性。他与德国的另一位数学家兼逻辑学家阿克曼（Ackermann 1896—1962）合作证明了一阶谓词演算的一致性。
西方哲学主要经历了三个转向：
（1）毕因论转向（Ontological Turn）
（2）认识论转向（Epistemological Turn）
（3）语言论转向（Linguistic Turn）
到第三转向时期，弗雷格、怀特海、罗素、维特根斯坦等吸收了这些逻辑学家的研究成果，建立了一个初步自足的完全的逻辑演算体系（但仍属于一个二值外延逻辑的公理系统），突破了经典形式逻辑的局限，正式确立了“数理逻辑”在学界的地位，他们可谓是该学科之集大成者，以期借助这一人工语言的精确性来解决形而上学伪命题之症结。很多论著都论述了数理逻辑与亚氏经典形式逻辑的对比与区别，详见王宪钧（1982）、周斌武等（1996）、周北海（1997）、陈波（2002）等。
这些学者都清醒地认识到逻辑和数学的关系密切，有学者通过前者论述后者，亦有学者通过后者论述前者。同时他们还认识到自然语言具有极大的模糊性，“语言”与“命题”之间的关系用这样的语言岂能表达精确，必然会产生伪命题，说白了，传统哲学家“用错了工具”。而且这里还涉及命题背景也不确定的问题，它常具有一定的随意性，当一个语句表达出某突显的意义时，就会遮蔽其他若干信息（参见Franklin 1990：273）。他们还认识到“背景信息”可能是一个宏大的连续体，在此怀特海早就提出了“整体论”观点，命题本身不独立，它可预设若干形而上学的背景，因此“整体论（Holism）”不是奎因（Quine 1953）的首倡。
被称为数理逻辑的最大天才是弗雷格（G. Frege 1879，1884，1893），素有“现代形式逻辑的创始人”之美誉。他首先在逻辑研究中引入“函数理论（Function Theory）”，以形式化为目标，借用数理运算方式（一套符号、公式、公理、规则）来揭示思维和语言的逻辑推理关系和语义结构，从而奠定了“理想语哲学派（The School of Idealist Philosophy of Language，又叫：人工语哲学派The School of Philosophy of Artificial Language）”的基本走向。莫绍揆（1980a：17）是这样评价弗雷格的：
弗雷格于1879年出版了他成名作《概念文字——一种模仿语言构造的纯思维的形式语言》，在这本书中他完备地发展了命题演算，又几乎很完备地发展了谓词演算。可以说，数理逻辑的整个基础到弗雷格手里已经接近于完成，只需在谓词演算中添入一条规则，那就基本上和今天所使用的谓词演算毫无差异了。
弗雷格的主要成就可归结为以下几点：
（1）在斯多葛和中世纪逻辑学研究的基础上，提出了著名“语义三角”，划分出意义的两项内容：“Sense（涵义）”和“Reference（指称义）”，从而确立了此后百余年的语义研究方向。
（2）考察了“专名”和“摹状语”之间的联系和区分，前者主要是指称义用法，后者主要是涵义用法，进而提出了他的外延论题；这一重要论题也为罗素日后的研究奠定了基础。
（3）建构了相当完备的命题演算系统，在寻找数学的逻辑基础的过程中，大体完成了数理逻辑的基本架构，为迎接20世纪数理逻辑的巨大发展做出了奠基性贡献。
（4）在命题演算的基础上又发展出较为完备的谓词演算系统，详见本书第三章。
罗素直到1901年才看到（或看懂）弗雷格的著作（参见莫绍揆1980a：18），很受触动，给予他很高的评价，于1902年6月写信给他，说（参见王宪钧1982：293）：
就我所知，你的著作是我们时代中最好的，请允许我表达我的深切敬意。
因此学界常说，若没有罗素的推荐，弗雷格的思想和成果或许会淹没在历史长河之中。罗素那时正在写 Principles of Mathematics （《数学的原则》）一书，弗雷格的思想，包括皮亚诺等学者，都给了罗素很大的鼓舞和启发，这本书于1903年正式出版，进一步发展和完善了数理逻辑。
罗素后与他的老师怀特海合作，于1910、1911、1912年分别出版了三卷本的 Principia Mathematica （《数学原理》），还于1918年出版了 Introduction to Mathematical Philosophy （《数理哲学导论》），以明白晓畅的笔法陈述了1903年和1910—1912年所确立的科研成果，进一步论述了他们的“逻辑主义（Logicism）”立场，认为逻辑为数学提供了基础，以至于使两者连续甚至等同起来（Bunnin、余纪元2001：576），且尝试用这种数理逻辑来解决传统的哲学问题。
学界常称罗素为数理逻辑之大成者，他的贡献可归结为如下5点（参见王宪钧1982：302-307）：
（1）建全了一个完全形式化的命题演算和谓词演算；
（2）发展并给出完全的关系逻辑和抽象的关系理论；
（3）摹状语理论；
（4）悖论和类型论；
（5）逻辑和数学。
第（1）、（2）、（5）参见本书其他章节，第（3）点参见有关述著。第（4）点即为罗素于1901—1902年间发现的“罗素悖论（Russell Paradox）”，它曾毁了弗雷格一生的工作，哥德尔和图林都对其进行了深入研究（陈嘉映2003：118）。一般说来，悖论包括两个要素：
（1）自指
（2）否定
话语之所以暗含悖论，是因为它包含了自身，且用了否定形式。罗素悖论也是这样，它涉及数学中的“集R”和“集的元素r”，R是由许多单个的r构成的，在这个R中通常不应当包括自身R，但有时候又包括自身R（R∈R），这就引出了悖论。正如黄斌（2014：162）所说：
集论悖论的特征，在于涉及总体时把定义者自己也包括了进去，形成了一种自我否定。
集论是逻辑理论，而逻辑理论是不会有矛盾的。根据集论可知，某些事物的“类”不应该是该类中的一员，如“所有人的类”，它不是指一个“人”，而是由所有人组成的一个类（即“集”），这种集叫“平常集”。但是把所有“不是人”的事物归为一类，则这个类本身也是这类事物中的一员，这种集叫“非常集”。现展示如下：
R = { r，r……r }
人类 = 一个人，一个人……（所有人的类不是一个人）
R = { r，r……R }
非人的类 包括非人的类
罗素的解决方案称为“类型论（The Theory of Types）”，他认为：所有悖论源自混淆了不同级别的类型，一个断言本来应该指涉下一级的类型，实际上却把本身这一类型混同于它所指涉的类型，于是产生循环，出现悖论。为了通俗起见，罗素于1919年打了一个比方：萨维尔村理发师在店前挂出一个招牌，上面写作：
方框中的摹状语表示一个“类”，即为数学中的一个“集（或叫：集合）”，它不应该包括言说者“我”本人，这就正常了。如黄斌（2014：165）所析，若说“我（不是囚犯）只给监狱中那些不给自己理发的人理发”，或说“我只给不会洗澡的小猫洗澡”，此类话语都不包括言说者本人，就不会自相矛盾，这就是上文所说的“平常集”。一旦将定义者本人置于其后的集合之中，就会出现“自指”现象，相当于上文所说的“非常集”，此时再含有否定用法，就会引出了悖论。这位理发师忘了他自己也要理发，在作集合规定时无意之中也将自己包含于其中。
黄斌还进一步从“存在vs思维”的哲学高度剖析了这类悖论的根源：物质性事物不可能形成“包含自身的集”，如“桌子的集”不是桌子，上文所说的“人的集”不是一个一个的、具体的、有血有肉的人；只有“概念的集”本身也是一个概念，“词的集”本身也是一个词。上文所说的“不是人的集”，它本身也是一个概念，就可包含自身。最后黄斌得出结论：只有在思维和语言中才有所谓的“包含自身的集”，这是由于思维具有“自身反思性、透明性、层次性”所致。
因此，“物质、思维、语言”是三个不同层次的术语，当予区分，不可混淆。这三者就分别对应于体认语言学核心原则中的“现实—认知—语言”，因此，用这一核心原则也可对悖论作出合理的解释：在现实层面不会有“包含自身的集”，而在“认知”和“语言”这类精神层面才会有“反思、透明”，才会有“包含自身的集”。这是解决此类悖论的简而又便有效的途径之一。
由于罗素悖论所涉及到的概念极少，同时又十分简单明了地指出了矛盾所在，自罗素提出这一著名的悖论之后，在数学界和逻辑学界产生了极大的震动，引起许多学者的关注，他们为解决这一难题提出了种种方案（王雨田1987：17），主要形成了以下三大现代数理逻辑的派别：
（1）以罗素等为代表的逻辑主义学派，参见本书其他章节。
（2）以布罗维（荷兰Brouwer 1881—1966）等为代表的直觉主义派（Intuitionism），重视直觉上的能行性，须依据数学直观（如只承认整数）来重新审视古典数学，不能在数学中随意使用排中律；重视数学中一切都必须是构造性的。克里普克也常被视为这一派的成员（参见朱水林1987：474）。
（3）以希尔伯特等为代表的形式主义派（Formalism），强调没有内容的，不自相矛盾的公理系统。
这三派的主要观点及其优缺点参见莫绍揆（1980a:3）、王雨田（1987：上册）。当然，除了上述几种方法之外，还有很多其他解决悖论的方案，本书不再赘言，详见黄斌（2014），高旭英（1987：667—687）。
怀特海和罗素的学生维特根斯坦（Wittgenstein 1922）也是这个团队中的核心成员，他在 Tractatus Logico-Philosophicus （《逻辑哲学论》）中较为系统地论述了命题的演算系统（详见第四章），进一步确立了现代形式逻辑的学科地位，详见韩林合（2007）、王寅（2013：1-22；2014）。
正是由于他们的这种逻辑斯蒂式的研究，使得哲学和逻辑学研究进入到现代形式化的新阶段，真正实现了莱布尼茨的蓝图。这种新逻辑在学界常称为“数理逻辑”或“逻辑斯蒂（Logistic）”。现请读者注意扉页上肖尔兹的一句语录，
对形式逻辑来说，只有逻辑斯蒂讲过的话才有意义。
句中的“逻辑斯蒂”就是指上述学者所建立的数理逻辑，这对他们于十九世纪末二十世纪初所发动的这场西方哲学的“语言论转向（Linguistic Turn）”做出了相当高的评价。
对数理逻辑做出贡献的还有：维也纳小组（Vienna Circle）、塔尔斯基、乔姆斯基（N.Chomsky 1928—）、蒙塔古（R. Montague 1930—1971）等。他们认为日常语言不精确、不完善，从而导致了命题表达不清，哲学研究混乱，形而上学猖獗，力主用一套严谨的形式化符号来表述和分析概念和命题，构造了一套精确的、完善的、理想的、形式化的人工语言，以期消除哲学上的混乱。
1932年波兰大逻辑学家塔尔斯基建立了一阶逻辑的语义学，从而形成了一阶逻辑的完备的语形和语义系统（参见蔡曙山1999：190）。
逻辑学家们又在一阶逻辑（依旧为二值逻辑）的基础上提出了“三值逻辑（Three valued Logic）”和“多值逻辑（Multiple-valued Logic）”，它是由波兰著名的逻辑学家卢卡西维茨（J. Luckasiewicz 1878—1956，师从塔尔斯基）和美国逻辑学家波斯特（E. L.Post 1897—1954，波兰裔美国籍）于20世纪20年代各自提出的，意在解决“未来偶然性”的概念，这是一个关于“既不真，也不假”的问题，不具有必然性，仅有可能性，如“明年年底我将去美国”，在讲这句话时它是既不真，也不假，仅是一种可能性。这就引出了在二值逻辑（某陈述或真或假）的基础上增加了另外一个真值“可能性”，从而出现了“三值逻辑”——真、假、中间值。正如雷谢尔（Rescher 1968：65）所说：
With a view to the future-contingency proposition of the third truth-value，Luckasiewicz introduced a modal operation of possibilities into his three-valued logic.（由于注意到将来偶然命题具有第三真值，卢卡西维茨把可能性的模态算子引入到他的三值逻辑中。）
波斯特于20世纪20年代也论述了多值逻辑，且建构了多值逻辑真值表。他于1936年几乎同时与图灵（Turing 1912—1954）提出了理想的计算机器“图灵机”，并定义了可计算函数的概率。
翁仲章（1987：595）说，自20世纪70年代以后，由于计算机技术的突飞猛进，大大推动了多值逻辑理论和应用的发展。为适应这一形势，自那时起每年召开的“多值逻辑国际会议”，对其进行学术交流和科研总结。可以说，多值逻辑是正在发展的现代形式逻辑的一个重要领域。
美国逻辑学家C. I. 刘易斯于1918年首倡运用形式化方法处理“模态逻辑”的方法，这是基于对真值蕴含“→”的思考而引出的。因为真值蕴含只是对命题之间真假关系的抽象，并不能反映命题在内容上的联系（参加第五章 [7]、[8]、[9] 三个例句），也不能反映其间的必然联系，未将模态关系包括在内。他在“谓词演算”和“命题演算”中引入了两个新算子“必然□”和“可能◇”，并基于这两个算子建构了模态公理系统。美国语言哲学家和逻辑学家克里普克（Kripke 1940—2022）等又将“模态逻辑”与“可能世界语义学”紧密结合起来，这亦已成为现代形式逻辑中最为核心的领域（参见Bunnin & Yu 2001：627）。
德裔美国籍语言哲学家和逻辑学家卡尔纳普，以及美国的克里普克、蒙塔古等在其基础上又发展出“内涵逻辑（Intensional Logic）”，该术语具有上义性质，包括：狭义模态逻辑、克氏模态逻辑、可证性逻辑、认识逻辑、道义逻辑、时态逻辑、语义公设、蒙塔古语义学等内容，参见第五章及其后的章节。
“概率逻辑”是一种现代归纳逻辑系统，又叫“统计归纳推理”，尝试将现代的形式化和公理化方法移植到归纳推理的研究之中，用概率论、统计数学作为工具对归纳推理的可靠性程度给出某些度量（王雨田1987下卷：1）。它与“枚举归纳推理”相似，都是通过观察一类事情中部分对象而作出关于整类对象的结论，后者作出的结论具有普遍性，属于“全称命题”，而前者仅作出概率性结论，允许有反例，对某事出现的可能性大小做出数量方面的估计，不但要考虑到事件出现的可能性，还要进一步研究它可能出现的程度。概率逻辑始见于密尔于1843年出版的《演绎和归纳的逻辑体系》中，20世纪20—50年代又有了重大发展，凯恩斯（J. M. Keynes 1921）、布劳德（C. D.Board 1930）、赖特（G. H. von Wright 1941，1944）、赖辛巴赫（Reichenbach 1930）、卡尔纳普（R. Carnap 1950）等对其做出了重要贡献（参见王雨田1987下卷：1-42；刘维林1987：43-83）。
自从学者们发现人类思维和语言中存在着很多不确定现象，有些学者为确保逻辑学的精确性而意欲排除这类现象，而另一些学者主张正视这一问题。弗雷格、罗素、柏斯（旧译：皮尔斯）、布莱克（M. Black 1909—1988）等指出模糊性是自然语言的一个重大特征，甚至认为（参见王寅2001：145）：
Language is fuzzy in nature.（语言在本质上具有模糊性。）
随着现代科技的迅猛发展，控制论、系统科学、计算机科学等都面临着若干不确定的因素，复杂大系统往往具有模糊性，这显然亦已超出经典逻辑、传统数学和计算机等的处理范围，此时科学家们迫切需要能有一套解决这类问题的新方案。就在这一形势的驱使下，美国自动控制论专家扎德（Z. A. Zadeh 1921—2017）于1965年提出“模糊集（Fuzzy Sets）”，且在此基础上建构了“模糊逻辑（Fuzzy Logic）”，这是一种非古典的、非标准的逻辑，是模糊集与数理逻辑相结合的产物，详见有关论著。
20世纪中叶，大多数人文学科（如逻辑学、哲学、心理学等）都在科学主义（Scientism）的影响下进入到形式主义阵营，而自然语言却因其复杂性始终未能达到这一目标。乔姆斯基（1957，1965）率先对语言中的句法（后来也尝试对语义）进行形式化研究，受到很多学者的诸多诟病，但是其历史意义确实功不可没，他敢为人先，终于将“落后”于其他学科的语言学研究纳入到形式化的科学主义道路，很是令人敬佩。蒙塔古（1970s）也紧步其后尘，重点研究了如何用现代形式逻辑来描写自然语言中的逻辑结构，参见第十一章。
① 有学者认为黑格尔提出的是“辩证法”而不是“辩证逻辑”，也有学者将其视为逻辑学中的一项内容，因他著有《大逻辑》《小逻辑》等著作。再由于我们在学习马克思主义理论时已对黑格尔有了一定的了解，为能形成知识整体，笔者暂且将其置于此处。
② 其实苏格拉底早就提出过归纳法，如亚里士多德曾说过：有两件事情公正归之于苏格拉底——归纳推理和普遍定义，只是被淹没在亚氏的演绎逻辑之中。应该说，培根是在演绎逻辑流行的时代，第一个率先专门系统地论述归纳逻辑的学者。这从他们的书名便可见一斑，亚氏撰写的逻辑学书的题目为“工具论”，而培根的书名为“新工具”。
① 在尼古拉斯、余纪元（2001）编著的《西方哲学英汉对照辞典》中将“Logic”处理为两个单独的词条，第一条是指亚氏的形式逻辑，第二条则为黑格尔的辩证逻辑，足以可见这两者之间的差异。
① 学界认为现代数理逻辑主体内容为“两算四论”（王雨田1987：9），“两算”为命题演算和谓词演算，“四论”为模型论、集合论、递归论、证明论。正如前言所述，四论已划归数学范畴，因此本书略而不述。
① 所谓“彻底公理化”，是指可舍弃内容，专注于形式化的演算方法。莫绍揆（1980：40）评价说：事实上，如果形式系统足够丰富完善（而不是一些零零星星的符号），我们暂时舍弃内容集中力量于形式方面，每每能更快地得到结果。