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前面研究了动点对于一个参考坐标系的运动。在不同的参考坐标系中，对同一个点的运动的描述得到的结果是不一样的。我们知道动点的绝对运动和相对运动都是指点的运动，而牵连运动是指参考体的运动，是刚体的运动，刚体运动主要分为平动和转动，因此加速度合成定理需要分这两种情况来讨论。
如图 2.14 所示，设 O′x′y′z′ 为平动参考系，动点 M 相对于动系的相对坐标为 x′ 、 y′ 、 z′ ，则动点 M 的相对速度和加速度为
由点的速度合成定理：
图 2.14
两边对时间求导，得：
动系平动时有：
于是可得：
即：当牵连运动为平动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。这就是牵连运动为平动时点的加速度合成定理。
式（2.4）即为牵连运动为平动时点的加速度合成定理的基本形式。其最一般的形式为：
具体应用时，只有分析清楚三种运动，才能确定加速度合成定理的形式。
【例 2.7】 如图 2.15 所示的曲柄滑杆机构，曲柄长 OA ＝ r ，当曲柄与铅垂线成 θ 时，曲柄的角速度为 ω 0 ，角加速度为 α 0 ，求此时 BC 的速度和加速度。
图 2.15
【解】 以滑块 A 为动点，动系固连在 BC 杆上，动点的速度合成矢量图如图 2.15（a）所示。
建立如图的投影坐标轴 Ax′y′ ，由 v a ＝ v e ＋ v r 将各矢量投影到投影轴 x′ 上，有： v a cos θ ＝ v e ，即： v e ＝ v a cos θ ＝ rω 0 cos θ ，该速度即为 BC 的速度。
动点的加速度合成矢量图如图 2.15（b）所示。
其中：
建立如图的投影坐标轴
Ax′y′
，由
将各矢量投影到
x′
轴上，得：
于是可得：
a
e
＝
，该加速度即为
BC
的加速度。
【例 2.8】 半径为 r 的半圆形凸轮在水平面上滑动，使直杆 OA 可绕轴 O 转动。已知 OA ＝ r ，在图示瞬时杆 OA 与铅垂线夹角 θ ＝30°，杆端 A 与凸轮相接触，点 O 与 O 1 在同一铅直线上，凸轮的速度为 v ，加速度为 a 。求在图 2.16 所示瞬时 A 点的速度和加速度，并求 OA 杆的角速度和角加速度。
图 2.16
【解】 以杆端 A 为动点，静系取在地面上，动系取在凸轮上，动点的速度合成矢量图如图2.16（a）所示。
建立如图的投影坐标轴 Ax′y′ ，由 v a ＝ v e ＋ v r ，将各矢量投影到投影轴上，得：
解得：
OA杆的角速度为
动点的加速度合成矢量图如图 2.16（b）所示。
其中
建立如图的投影轴，由
，将各矢量投影到投影轴
η
上，得
所以
故 OA 杆的角加速度
【例 2.9】 如图 2.17 所示的铰接四边形机构中， O 1 A ＝ O 2 B ＝10 cm， O 1 O 2 ＝ AB ，杆 O 1 A 以匀角速度 ω ＝2 rad/s绕 O 1 轴转动。 AB 杆上有一滑套 C ，滑套 C 与 CD 杆铰接，机构各部件在同一铅直面内。求当 φ ＝60°时， CD 杆的速度和加速度。
图 2.17
【解】 以滑套 C 为动点，静系取在地面上，动系取 AB 上。
由于
所以有
动点的加速度合成矢量图如图 2.17（b）所示。
由于 a e ＝ a A ＝ rω 2
所以有 a a ＝ a e cos 30 ° ＝ rω 2 cos 30 ° ＝10×2 2 ×cos 30 ° ＝34.6 （cm/s 2 ）
设一圆盘以匀角速度 ω 绕定轴 O 逆时针转动（图 2.18），盘上边缘圆槽内有一点 M 以相对速度 v r ＝ ωR 沿槽作匀速圆周运动，那么 M 点相对于定系的绝对加速度是多少呢？
图 2.18
选点 M 为动点，动系固结与圆盘上，则 M 点的牵连运动为匀速转动：
相对运动为匀速圆周运动，所以
v
r
为常数，
因为绝对运动也为匀速圆周运动，所以有
方向指向圆心 O 点。
分析上式：
a
r
＝
/R，
a
e
＝
Rω
2
，还多出一项 2
ωv
r
。
所以当牵连运动为转动时，加速度合成的结果和牵连运动为平动时加速度合成的结果不同。当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度 a a 并不等于牵连加速度 a e 和相对加速度 a r 的矢量和。那么它们之间的关系是什么呢？
当牵连运动为转动时，
v
a
＝
v
e
＋
v
r
中
v
e
＝
ω
×
r
，于是
v
a
＝
α
×
r
＋
ω
×（
v
e
＋
v
r
）＝（
α
×
r
＋
ω
×
v
e
）＋
ω
×
v
r
。
由于牵连加速度定义为动系中与动点重合点的加速度，有
因为 v a ＝ v e ＋ v r ，两边同时对d t 求导得
所以
由于动坐标系为转动，牵连运动和相对运动的相互影响而产生了一个附加的加速度，称为科里奥利加速度，简称科氏加速度，用 a c 表示。其大小为：
其方向按右手法则确定。
所以
【例 2.10】 计算点 M 1 和 M 2 的科氏加速度大小，并在图 2.19中标示方向。
图 2.19
【解】 点 M 1 的科氏加速度大小为： a c1 ＝2 ωv 1 sin θ
方向：垂直板面向里
点 M 2 的科氏加速度大小为： a c2 ＝0（ ω // v 2 ）
【例 2.11】 如图 2.20（a）所示，直角折杆 OBC 绕 O 轴转动，带动套在其上的小环 M 沿固定直杆 OA 滑动，如图。已知： OB ＝10 cm，折杆的角速度 ω ＝0.5 rad/s，角加速度为 O 。求当 φ ＝60°时，小环 M 的速度和加速度。
【解】 以小环 M 为动点，静系取在地面上，动系取在折杆上，动点的速度合成矢量图如图 2.20（b）所示。
建立如图的投影坐标轴，由 v a ＝ v e ＋ v r 将各矢量投影到投影轴 x′ 上，得
因为
解得
v
r
＝20 cm/s，
v
a
＝
cm/s
动点的加速度合成矢量图如图 2.20（c）所示，其中
图 2.20
建立如图的投影坐标轴，由 a a ＝ a e ＋ a r ＋ a c
将各矢量投影到投影轴 η 上，得：
所以
故小环 M 的速度和加速度为
【例 2.12】 如图 2.21（a）所示机构，半径为 R 的曲柄 OA 以匀角速度 ω 绕 O 轴转动，通过铰链 A 带动连杆 AB 运动。由于连杆 AB 穿过套筒 CD ，从而使套筒 CD 绕 E 轴转动。在图示瞬时， OA ⊥ OE ，∠ AEO ＝30°。求此时套筒 CD 的角加速度。
图 2.21
【解】 以铰 A 为动点，静系取在地面上，动系取在 CD 上，动点的速度合成矢量图如图 2.21（b）所示。
于是套筒 CD 的角速度为
动点的加速度合成矢量图如图 2.21（c）所示。
其中
建立如图所示的投影坐标轴，由
将各矢量投影到投影轴上，得
解得
套筒 CD 的角加速度为
【例 2.13】
圆盘的半径
cm，以匀角速度
ω
＝2 rad/s，绕
O
轴转动，并带动杆
AB
绕
A
轴转动。求机构运动到
A
、
C
两点位于同一铅垂线上，且
α
＝30°时，
AB
杆转动的角速度与角加速度。
图 2.22
【解】 取圆盘中心 C 为动点，静系取在地面上，动系取在 AB 杆上。动点的速度合成矢量图如图 2.22（b）所示。
由图可得
所以杆 AB 的角速度为
动点的加速度合成矢量图如图 2.22（c）所示。
其中
建立如图所示的投影轴，由
将各矢量投影到投影轴上得
所以
故
＝-0.65（rad/s
2
），转向为逆时针方向。