2.2 点的速度合成定理

在图 2.8 中，在瞬时 t ，动点位于曲线 AB 上点 M 处。经过一段时间Δ t 后， AB 运动到新位置 A′B′ ，同时动点沿弧 MM′ 运动到 M′ 处。

在静系中观察点的运动，动点的绝对轨迹为弧 MM ₂ ，则随 AB 运动至 M ₁ 处，而将弧 MM ₂ 称为 t 瞬时牵连点的轨迹。作矢量 MM ′、 MM ₁ 和 MM ₂ 分别表示动点的绝对位移、相对位移和牵连点的位移。作矢量 M ₂ M ′，由图中矢量关系可得

以Δ t 除等式两边，并令Δ t →0，取极限，得

分析式中各项，等式左端就是动点 t 瞬时的绝对速度 v _a ，它沿动点的绝对轨迹 MM′ 在点 M 的切线方向。等式右端第一项是 t 瞬时牵连点的速度 v _e ，即动点的牵连速度，它沿曲线 MM 1 在点 M 的切线方向；而第二项则是动点在 t 瞬时的相对速度 v _r ，因Δ t →0 时曲线 AB 和曲线 A′B′ 重合，所以方向沿曲线 AB 在点 M 的切线方向。于是，上式可改写为

在任一瞬时，速度动点的绝对速度等于牵连速度和相对速度的矢量和，这称为点的速度合成定理。根据这一定理，在动点上作速度平行四边形时，绝对速度应在速度平行四边形的对角线方向。速度合成定理的公式里包含有 v _a ， v _e ， v _r 三者的大小和方向共 6 个量，只要知道其中 4 个量，便可求出其余 2 个未知量。

在推导点的速度合成定理时，对动系作何种运动，未作任何限制。因此，无论牵连运动还是平动、转动还是复杂运动，速度合成定理都成立。

【例 2.3】 如图 2.9 所示，机器 A 连同基座 B 安装在弹性基础上，按规律 y ＝ k cos ω ₀ t 沿铅直方向振动，式中 k 、 ω ₀ 均为常量。机器的飞轮 D ，半径为 r ，以匀角速度 ω 转动。 t ＝π/2 ω ₀ 时，轮缘上 1、2 两点在图示位置。试求这两点在该瞬时相对于地面的速度。

【解】 取 1、2 两点为动点，机器为动系。动点的绝对轨迹为平面曲线，相对轨迹为圆，牵连运动为平动。由所给条件可得 1、2 两点的相对速度 v _r1 、 v _r2 为： v _r1 ＝ rω ，方向向上； v _r2 ＝ rω ，方向向左。

由于牵连运动为平动，平动刚体上各点的速度相同。

因 ＝- kω ₀ sin ω ₀ t ，当 t ＝π/2 ω ₀ 时 ＝- kω ₀ ，故此时 1、2 两点的牵连速度大小为 v _e1 ＝ v _e2 ＝ kω ₀ ，方向与 y 轴方向相反，如图 2.9 所示。

作出动点 1、2 的速度平行四边形，如图 2.9 所示。由图可见， v _a1 的大小为

设 rω ﹥ kω ₀ ，则 v _a1 的方向和 v _r1 相同。

因

v _a2 与 v _r2 的夹角 θ 为：

【例 2.4】 如图 2.10 所示的摆杆机构中的滑杆 AB 以匀速 u 向上运动，铰链 O 与滑槽间的距离为 l ，开始时 φ ＝0，试求 φ ＝π/4 时摆杆 OD 上 D 点的速度的大小。

【解】 D 是作定轴转动刚体上的点，要求点 D 的速度，必须先求得杆 OD 的角速度。因此，应通过对两运动部件的连接点 A 的运动分析，由已知运动量求得待求运动量。

取 A 为动点，杆 OD 为动系。 A 为作直线平动的杆 AB 上的点，其绝对轨迹为铅垂直线。滑块在 OD 上滑动， A 的相对轨迹为沿 OD 的直线。动系 OD 的牵连运动为绕轴 O 的定轴转动。

作动点的速度平行四边形如图 2.10 所示。作速度图时，先作大小、方向已知的矢量 v _a ； v _r 大小未知，方向沿相对轨迹； v _e 大小未知，方向垂直于 OD 连线。根据 v _a 应在速度平行四边形的对角线方向，可定出 v _e 、 v _r 的正确指向。

由图可见， v _e ＝ v _a cos

杆 OD 作定轴转动，得

由图可知， ω 为逆时针转向， D 点的速度大小 v _D ＝ bω ＝ ，方向垂直于 OD ，指向如图 2.10 所示。

【例 2.5】 图 2.11 所示的曲柄滑道机构中，杆 BC 为水平，杆 DE 保持铅直。曲柄长 OA ＝0.1 m，并以匀角速度 ω ＝20 rad/s绕 O 轴转动，通过滑块 A 使杆 BC 作往复运动。求当曲柄水平线的交角 φ 分别为 0°、30°、90°时杆 BC 的速度。

【解】 取滑块 A 为动点，动系固接于 BCE 杆。

由 v _a ＝ v _e ＋ v _r 得 v _e ＝ v _a sin φ

当 φ ＝0°时， v _e ＝0；

当 φ ＝30°时， v _e ＝1 m/s；

当 φ ＝90 时， v _e ＝2 m/s。

【例 2.6】 如图 2.12 所示，车 A 沿半径为 150 m的圆弧道路以匀速 v _A ＝45 km/h行驶，车 B 沿直线道路以匀速 v _B ＝60 km/h行驶，两车相距 30 m，求：（1） A 车相对 B 车的速度；（2） B 车相对 A 车的速度。

【解】 （1）以车 A 为动点，静系取在地面上，动系取在车 B 上，动点的速度合成矢量图如图2.12（b）所示，有

（2）以车 B 为动点，静系取在地面上，动系取在车 A 上，动点的速度合成矢量图如图 2.13 所示。