习题

1.1 设动点从 x 轴上 O 点按 x ＝ v ₀ t -2 t ² 的规律运动，求动点速度为零的位置，动点回到 O 点时其速度的大小。

1.2 一点按 x ＝ t ³ -12 t ＋2 的规律沿直线运动（其中 t 以s计， x 以m计）。试求：（1）最初3 s内的位移；（2）改变运动方向的时刻和所在位置；（3）最初 3 s内经过的路程；（4） t ＝3 s时的速度和加速度；（5）点在哪段时间作加速运动，哪段时间作减速运动？

1.3 分析下列论述是否正确：

（1）点作曲线运动时，加速度的大小等于速度的大小对时间的导数。

（2）点作直线运动时，法向加速度等于零。因此，若已知某瞬时点的法向加速度等于零，则该点作直线运动。

（3）点作曲线运动时，即使加速度的方向始终与速度方向垂直，点也不一定作匀速圆周运动。

1.4 设点作曲线运动，试问如习题 1.4 图所示的各种速度与加速度的情形，哪些是可能的，哪些是不可能的？为什么？

1.5 已知动点的运动方程为 y ＝ bt ， φ ＝ ct ， b 和 c 均为常数。试分别用直角坐标和极坐标写出点的轨迹。

1.6 如图所示，杆 AB 长 l ，以等角速度 ω 绕点 B 转动，其转动方程为 φ ＝ ωt 。而与杆连接的滑块 B 按规律 s ＝ α ＋ b sin ωt 沿水平轴作谐振动。 a 和 b 均为常数，求点 A 的轨迹。

1.7 如图所示，从水面上方高 h ＝20 m的岸上一点 A ，用长 40 m的绳系住小船。设以等速 u ＝3 m/s拉绳，使船靠岸。试求在 5 s末船的速度多大？在 5 s内船走了多少路程？

1.8 如图所示，一根杆子穿过可绕定点 B 转动的套管，杆的 A 端以匀速 C 沿固定水平直线 O _x 滑动。求杆上 M 点的轨迹方程、速度与加速度（以角 φ 的函数来表示）。设 AM ＝ OB ＝ h 。

1.9 如图所示，曲柄 OB 的转动规律为 φ ＝2 t ，它带动杆 AD ，使杆 AD 上的 A 点沿水平轴 O _x 运动， C 点沿铅直轴 O _y 运动，如 AB ＝ OB ＝ BC ＝ CD ＝12 cm，求当 φ ＝45°时杆上 D 点的速度，并求 D 点的轨迹方程。

1.10 刨床急回机构如习题 1.10 图所示。 r 、 h 、 H 均为已知，曲柄 OA 的转动规律为 φ ＝ ωt （ ω 为常数）。求滑块 C 沿水平轨道滑动的速度和加速度。

1.11 如图所示，若三级火箭在 A 点脱离时，其速度为 u ＝15000 km/h，然后在没有推力作用的情况下飞行到 B 点，到 B 点后发动机才打开，这时轨道与水平线的夹角为 20°。在从 A 到 B 这段时间间隔内，引力加速度的大小和方向均可设为不变，取 g ＝9 m/s ² 。求从 A 到 B 所需的时间 t 。

1.12 如图所示，杆 AB 在半径等于 r 的固定圆环半面中以匀速度 u 沿垂直于杆本身的方向移动。求同时套在杆与圆环上的小环 M 的自然形式的运动方程及其速度。设初瞬时，小环 M 在大环的最高点 M ，以后向右运动。

1.13 如图所示，一点 M 由静止开始作匀速圆周运动。试证明该点的全加速度和切向速度的夹角 α 与经过的那段圆弧对应的圆心角 β 之间存在如下关系：tan α ＝2 β 。

1.14 如图所示，摇杆机构的滑杆 AB 在某段时间内以等速 u 向上运动，试用自然法建立摇杆上 C 点的运动方程，并求此点在 时速度的大小（假设初瞬时 φ ＝0，摇杆长 OC ＝ a ）。

1.15 如图所示，半圆形凸轮以等速 u ＝1 cm/s沿水平方向左运动，而使活塞杆 AB 沿铅直方向运动。当运动开始时，活塞杆 A 端在凸轮的最高点上。如凸轮的半径 R ＝8 cm，求活塞 B 相对于地面和相对于凸轮的运动方程和速度。

1.16 如图所示，点 M 沿一平面上的曲线轨迹运动，其速度在 y 轴上的投影在任何时刻均为常数 c 。试证明在此情形下，加速度的值可用 表示，式中 v 为速度， ρ 为曲率半径。

1.17 炮弹的发射角为 α ，初速度为 v ₀ ，空气阻力略去不计。试求炮弹在其速度与水平线成 θ 角处的法向加速度、切向加速度以及轨迹在该点的曲率半径。

1.18 已知某动点用极坐标表示的运动方程为： ρ ＝3＋4 t ² ， φ ＝1.5 t ² 。求 φ ＝60°时点的速度与加速度（ ρ 的单位为m， φ 的单位为rad， t 的单位为s）。

1.19 如图所示的曲柄滑杆机构中，滑杆有一圆弧形滑道，其半径 R ＝100 mm，圆心 O ₁ 在导杆 BC 上。曲柄长 OA ＝100 mm，以等角速度 ω ＝4 rad/s绕轴 O 转动。求导杆 BC 的运动规律，以及当轴柄与水平线间的交角为 30°时，导杆 BC 的速度和加速度。

1.20 如图所示，曲柄 CB 以等角速度 ω ₀ 绕轴 C 转动，其转动方程为 φ ＝ ω ₀ t 。滑块 B 带动摇杆 OA 绕轴 O 转动。设 OC ＝ h ， CB ＝ r 。求摇杆的转动方程。

1.21 如图所示，纸盘由厚度为 a 的纸条卷成，令纸盘的中心不动，而以等速 v 拉纸条。求纸盘的角加速度（以半径 r 的函数表示）。

1.22 如图所示的机构中，齿轮 1 紧固在杆 AC 上， AB ＝ O ₁ O ₂ ，齿轮 1 和半径为 r ₂ 的齿轮 2啮合，齿轮 2 可绕 O ₂ 轴转动且和曲柄 O ₂ B 没有联系。设 O ₁ A ＝ O ₂ B ＝ l ， φ ＝ b sin ωt ，试确定 t ＝ s时，轮 2 的角速度和角加速度。

1.23 图示飞轮绕固定轴 O 转动，在运动过程中，其轮缘上任一点的全加速度与轮半径的交角恒为 60°。当运动开始时，其转角 φ ₀ 等于零，其角速度为 ω ₀ ，求飞轮的转动方程，以及角速度和转角间的关系。