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刚体的运动描述要考虑其本身形状和尺寸大小，由于刚体的几何形状不变，所以研究它在空间的位置就不必一个点一个点地确定，只要根据刚体的各种运动形式，确定刚体内某一个有代表性的直线或平面的位置即可。
刚体在运动中，其上任意两点的连线始终与它的初始位置平行，这种运动称为平行移动，简称平动（平移）。例如汽缸内活塞 B 的运动（图 1.12），振动筛筛子 AB 的运动（图 1.13），机车平行推杆 AB 的运动（图 1.14）以及各种电梯（住宅电梯、医用电梯、观光电梯、载货电梯、自动扶梯、自动人行道）的运动，等等。
图 1.12 汽缸内活塞 B
图 1.13 振动筛筛子 AB
图 1.14 机车平行推杆 AB
设刚体作平动，如图 1.15 所示，在刚体上任意选取两点 A 和 B ，令点 A 的矢径为 r A ，点 B 的矢径为 r B ，则两条矢端曲线就是两点的轨迹。由图可知
图 1.15
按照刚体平动的定义，刚体运动时线段 AB 的长度和方向都不改变，所以 BA 是恒矢量。可见，点 A 和点 B 的轨迹形状完全相同。若刚体上各点的轨迹为直线，这种平动称为直线平动；若其上各点的轨迹为曲线，这种平动称为曲线平动。
同理
式中： v A 和 v B 分别表示点 A 和点 B 的速度， a A 和 a B 分别表示点 A 和点 B 的加速度。
上述结果表明：刚体作平动时，其上各点的轨迹形状相同，在同一瞬时，各点的速度和加速度相同。
因此，对于作平动的刚体，只需确定出刚体上任一点的运动（例如质心），也就确定了整个刚体的运动，即刚体的平动问题可以归结为点的运动问题来讨论，也即前一章里所研究过的点的运动学问题。
图 1.16
【例 1.4】
荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图1.16 所示。钢索长为
l
，单位为m。当荡木摆动时，钢索的摆动规律为
（其中
t
为时间，单位为s）；转角
φ
的单位为rad，试求当
t
＝0 和
t
＝2 s时，荡木的中点
M
的速度和加速度。
【解】 由于两条钢索 O 1 A 和 O 2 B 的长度相等，并且相互平行，于是荡木 AB 在运动中始终平行于直线O 1 O 2 ，故荡木作平移。
为求中点 M 的速度和加速度，只需求出 A 点（或 B 点）的速度和加速度即可。点 A 在圆弧上运动，圆弧的半径为 l 。如以最低点 O 为起点，规定弧坐标 s 向右为正，则 A 点的运动方程为
将上式对时间求导，得 A 点的速度
再求一次导，得 A 点的切向加速度
A点的法向加速度
代入 t ＝0 和 t ＝2，就可求得这两瞬时 A 点的速度和加速度，亦即点 M 在这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：
当刚体运动时，若其体内或其体外的扩展部分存在一条始终保持不动的直线，则这种运动称为刚体的 定轴转动 ，这条固定不动的直线称为 转轴 。在工程上，许多运动机构中的物体具有这一特点，例如汽缸外曲柄 OA 的运动（图 1.12）、振动筛中的曲柄 O 3 D 及摇杆 O 1 A 和摇杆 O 2 B 的运动（图 1.13），以及电动机转子的运动、机器上的传动齿轮的运动、机床的主轴的运动等。
为确定转动刚体的位置，取其转轴为 z 轴，正方向如图1.17 所示，通过轴线作一固定平面Ⅰ。此外，通过轴线再作一动平面Ⅱ，这个平面与刚体固结，一起转动。两个平面间的夹角用 φ 表示，称为刚体的转角。当刚体转动时，转角 φ 是时间 t 的单值、连续函数，即
图 1.17
式（1.26）称为刚体绕定轴转动的运动方程。绕定轴转动的刚体，只用一个参变量（转角 φ ）就可以确定它的位置。转角 φ 是一个代数量，它的符号按右手螺旋定则确定：从 z 轴的正端向负端看，从固定面起按逆时针转向计算角 φ ，取正值；反之取负值。其单位用弧度（rad）表示。
转角 φ 对时间 t 的一阶导数，称为刚体的瞬时 角速度 ，用字母 ω 表示，即
角速度 ω 表征刚体转动的快慢和方向。角速度也是代数量，它的符号按右手螺旋定则确定：从 z 轴的正端向负端看，刚体逆时针转动时，角速度取正值，反之取负值，其单位一般用rad/s表示。工程上也常用转速 n 来表示刚体转动快慢，单位一般用r/ min表示。此时 n 与 ω 的换算关系为
角速度 ω 对时间 t 的一阶导数，称为刚体的瞬时角加速度，用字母 α 表示，即
角加速度 α 表征角速度变化的快慢，角加速度也是代数量。若 α 与 ω 符号相同，刚体作加速转动；若 α 与 ω 符号相反，则刚体作减速转动。角加速度的单位为rad/s 2 。
当刚体绕定轴转动时，除了转轴上各点固定不动外其他各点都在通过该点并垂直于转轴的平面内作圆周运动，点到轴线的垂直距离就是该点作圆周运动的半径 R 。由于定轴转动刚体上各点的轨迹已知，宜采用自然法研究各点的运动。
设刚体由定平面Ⅰ绕定轴 O 转动任一角度 φ ，到达平面Ⅱ所在的位置，其上任一点由 M O 运动到 M ，如图 1.18 所示。以固定点 M O 为弧坐标 s 的原点，按 φ 角的正向规定弧坐标 s 的正向，则点 M 的运动方程为
式中： R 为点 M 到轴心 O 的距离。
图 1.18
图 1.19
将式（1.30）对 t 取一阶导数，得点 M 的速度
上式表明：转动刚体内任一点的速度 v 的大小，等于刚体的角速度 ω 与该点到轴线的垂直距离 R 的乘积，而速度 v 的方向沿圆周的切线并指向转动的一方，转动刚体内各点的速度按线性规律分布，如图 1.19 所示。
下面求点 M 的加速度，包括圆周运动的切向加速度和法向加速度。
切向加速度为
即：转动刚体内任一点的切向加速度
的大小，等于刚体的角加速度
α
与该点到轴线垂直距离
R
的乘积，而
的方向沿圆周的切线方向，
指向应与
α
转向一致。
法向加速度为
式中： ρ 为曲率半径，对于圆， ρ ＝ R 。
即：转动刚体内任一点的法向加速度 a n 的大小等于刚体角速度 ω 的平方与该点到轴线的垂直距离 R 的乘积，而 a n 的方向与速度 v 垂直并指向轴心 O 。
点 M 的（全）加速度 a 的大小：
而点 M 的（全）加速度 a 的方向，可用 a 与点所在半径 MO 之间的交角 θ 表示。由几何关系得
注意到刚体运动的每一瞬时，表征刚体整体运动的角速度 ω 和角加速度 α 各有一个确切的数值，致使每一瞬时 θ 也有一个确切的对应数值，它不会因点的位置不同而不同。再由式（1.31）至式（1.35）可知：
①在每一瞬时，转动刚体上各点的速度的大小和（全）加速度的大小分别与各点到转轴的距离 R 成正比。
②在每一瞬时，刚体内所有各点的（全）加速度 a 与半径间的夹角 θ 都有相同的值。
根据上述结论，转动刚体内各点的（全）加速度也按线性规律分布，如图 1.20 所示。
图 1.20
图 1.21
【例 1.5】 滑轮的半径 r ＝0.2 m，可绕水平轴 O 转动，轮缘上缠有不可伸长的细绳，绳的一端挂有物体 A 如图 1.21 所示。已知滑轮绕轴 O 的转动规律 j ＝0.15 t 3 ，其中 t 以 s 计， j 以rad计。试求 t ＝2 s 时轮缘上 M 点和物体 A 的速度和加速度。
【解】 首先根据滑轮的转动规律，求得它的角速度和角加速度：
代入 t ＝2 s，得： α ＝1.8 rad/s 2 ， ω ＝1.8 rad/s，轮缘上 M 点上在 t ＝2 s时的速度为 v M ＝ rω ＝0.36 m/s。
加速度的两个分量为
总加速度 a M 的大小和方向为
刚体的角速度 ω 和角加速度 α 有大小和转向，角速度矢 ω 的大小等于角速度 ω 的绝对值，即
角速度矢 ω 沿轴线，它的指向按照右手螺旋定则表示刚体转动的方向，即右手的四指代表转动的方向，拇指代表角速度矢 ω 的指向，如图 1.22 所示。角速度矢是滑动矢，因此角速度矢的起点可在轴线上任意选取。
图 1.22
图 1.23
取单位矢 k 沿转轴 z 的正向（如图 1.23 所示），于是刚体绕定轴转动的角速度矢可写成
同样， 可用一个沿轴线的滑动矢量表示定轴转动刚体的角加速度， 即
以上二式中，
ω
、
α
分别为角速度和角加速度的代数值，即：
于是有
即角加速度矢 α 为角速度矢 ω 对时间的一阶导数。
任选轴线上一点 O 为原点，刚体内任一点 M 的矢径以 r 表示，如图 1.24 所示。那么，点 M 的速度可以用角速度矢与它的矢径的矢量积表示，即
图 1.24
这是因为矢量积 ω × r 也是一个矢量，有大小和方向。
ω × r 的大小为
式中： θ 是角速度矢 ω 与矢径 r 间的夹角，表明矢积 ω × r 的大小等于速度的大小。
ω × r 的方向必然垂直于 ω 和 r 所组成的平面， ω × r 的指向按右手螺旋定则确定，由图1.24（a）容易看出，矢积 ω × r 的方向正好与点 M 的速度方向相同，因此 v ＝ ω × r 成立。同样， 可用矢积表示定轴转动刚体内任一点的加速度 。
将
v
＝
ω
×
r
代入任一点
M
的加速度
中，得
即
式（1.41）右边第一项的大小为
，正是点的切向加速度的大小；第二项的大小为
，这正是点的法向加速度的大小。这两个矢积的指向按右手螺旋定则确定，由图 1.24（b）容易看出，它们分别与
a
t
和
a
n
的方向相一致，则
故式（1.41）可写为
【例 1.6】
如图 1.25 所示，半径
R
＝100 mm的圆盘绕其圆心转动，在图 1.25（a）所示瞬时，点
A
的速度为
v
a
＝200
j
mm/s，点
B
的切向加速度
＝150
i
mm/s
2
。求角速度
ω
和角加速度
α
，并进一步写出点
C
的加速度与矢量表达式。
图 1.25
【解】 由图 1.25（b）有
