1.3 自然坐标法

点的运动的自然坐标表示法，也称自然法，是一种与运动轨迹的几何性质相关的点的运动分析方法。当点的运动轨迹已知时，运用这一方法分析点的运动，较直角坐标法更为直观和简便，点的运动特征量速度和加速度的物理意义可以被明显地表示出来。

1.3.1 点的运动方程

设动点 M 的运动轨迹曲线 AB 已知（图 1.7），在曲线上选定一点 O′ 为起始原点，从 O′ 点到动点所处的位置 M 的弧长 S 即为点 M 的弧坐标。规定从 O′ 点出发，沿一边运动为正，向另一边运动为负。动点的位置由 S 完全确定，弧长 S 是时间的函数，描述了点运动时弧坐标 S 随时间 t 而变化，是时间 t 的单值连续函数，可表示为 S ＝ f （ t ）。此关系式表示点沿已知轨迹的运动规律，称为用自然法表示的点的运动方程。

由以上讨论可知，在自然法中，点的运动是由其轨迹和沿轨迹的运动方程两者来决定的，因此只有当动点的轨迹为已知时，才能用自然法表示的运动方程确定点的运动。

1.3.2 自然轴系

当点沿已知轨迹运动时，轨迹曲线的几何性质与点的速度及加速度有密切的关系，而速度和加速度是矢量，因此，自然轴系是必须建立的相应概念。关于自然轴系及其性质，通过曲线上的点 M 以及曲线所处的平面来表示，此平面称为曲线在点 M 处的密切面或曲率平面（图1.8）。通过点 M 而与密切面垂直的平面称为曲线在点 M 的法面。法面与密切面的交线称为主法线，用 N 表示，其上的单位矢量用 n 表示。法面内与主法线垂直的直线称为副法线，用 B 表示，其上的单位矢量用 b 表示。以 M 为原点，点 M 的切线用 T 表示，其上的单位矢量用 表示。以主法线、副法线和切线为相互垂直的三轴所组成的坐标称为自然轴系。各轴的正向规定如下：三个轴的轴向单位矢量 指向弧坐标 S 增加的一边， n 指向曲线内凹的一边，则 b ＝ × n 。可见， 、 n 、 b 之间的关系与固定直角坐标系的三个单位矢量 i 、 j 、 k 之间的关系相同。应该注意的是，当点运动时，自然轴系将随 M 点的运动而改变，因此， 、 n 、 b 都不是常矢量，这是自然轴系和固定的直角坐标系的一个重要区别。

1.3.3 点的速度和加速度

设已知点 M 的运动轨迹为曲线 AB （图 1.9），其运动方程 S ＝ f （ t ）。以固定点 O 为原点，设在 t 时刻动点 M 的矢径为 r ，且Δ t 时间间隔后变为 r ′，矢径变化为Δ r ，路程变化为Δ s ，因此点的速度有

式中有

当Δ s 趋近于零时，弦与弧长之比 的极限值趋于 1，而 的方向则趋近于点 M 的切线方向 。当Δ s 是正值时， 与Δ r 方向相同，这时Δ r 则指向 S 增加的一边；反之，当Δ s 是负值时， 与Δ r 方向相反，同时Δ r 也指向 S 减小的一边，因此

自然法的速度公式可以表示为

动点的速度方向总是沿着轨迹的切线方向。用 v 表示动点沿轨迹运动速度的代数值，则有

于是式（1.13）可写作

由此可知：动点沿轨迹的速度代数值，等于它的弧坐标对时间的一阶导数。当 ＞0 时， S 随时间而增大，因此 v 指向 S 增加一边，即 v 的指向与 相同；反之，当 ＜0 时，则 v 的指向与 相反。

将 v ＝ v 代入点的加速度公式（1.3），得

式（1.15）右边第一项 的物理意义表示由于速度大小的改变而产生的加速度，即速度的代数值随时间的变化率，方向沿切线方向，称为切向加速度，以 表示之，则

当 与 v 同号时， v 的值随时间增大，点作曲线加速运动；反之，当 与 v 异号时， v 的值随时间而减小，点作减速曲线运动。

式（1.15）右边第二项 表示由速度方向的改变而产生的加速度，即速度方向随时间的变化率 的变化可以写成

式中：Δ 是Δ t 时间内切线单位矢量的改变量，Δ s 是动点的弧坐标改变量（图 1.10）。当Δ s 趋近于零时， ，且Δ的极限方向垂直于 而沿着主法线指向曲率中心，由此可知

将上式代入式（1.15），即得用自然法表示的加速度公式

如式（1.17）所示，加速度的第二个分量的大小为 。由于 始终是正值，所以其方向与主法线单位矢量 n 同向（即沿主法线指向曲率中心），因而加速度的这一分量被称为法向加速度或向心加速度，用 a _n 表示

所以，当点沿曲线轨迹运动时，其加速度有两个分量，一个是切向分量 它是由速度大小的变化而产生的；另一个是法向分量 ，它是由速度方向的变化产生的。

设 a 、 a _n 、 a _b 分别代表加速度在切线、主法线和副法线三个自然轴上的投影，得加速度的解析表达式

其中

如已知 与 a _n ，加速度 a 的大小及方向可由下式求出

α 角表示加速度 a 与主法线正向的夹角。

下面是两种常见的曲线运动形式：

（1）匀速曲线运动

在此情况，速度 v ＝ S 是常量，因此 α ＝0，则点沿轨迹的运动方程为

（2）匀变速曲线运动

在此情况下， ＝常量。由积分可得

从以上两式消去时间 t ，则得

式中： s ₀ 和 v ₀ 分别为弧坐标和速度在初瞬时的值。以上三式分别与点作直线运动时相应的公式完全类似，只是这里的加速度为切向速度 a ，而不是全加速度 a 。这是因为点作曲线运动时，表示速度大小变化的只是切向加速度。

【例 1.3】 在半径 r ＝10 cm的固定铁圈上套一小环 M ，有杆 AB 穿过小环 M 并绕铁圈上 A 点转动（图 1.11）。已知杆与水平直径的夹角 （ φ 以rad计， t 以s计），试求小环 M 的速度和加速度。

【解】 由于已知小环的轨迹是半径为 r 的圆弧，用自然法求解。

取小环初瞬时（ t ＝0）在轨迹上的位置 M ₀ 为弧坐标 s 的原点，并规定其正向如图 1.11 所示。因 ，故 α ＝ ，由图示的几何关系，可得小环 M 沿轨迹的运动方程为

小环的速度

由于 v 为正值，故 v 的方向沿轨迹切线的正向，如图 1.11 所示。小环 M 的切向加速度和法向加速度分别为

因此，小环 M 的加速度 a 的大小为

加速度 a 的方向沿着圆弧在 M 点的法线，并指向圆心 O 点，如图 1.11 所示。 Sm65846kgBgVBByo6rYJHyJFr4ki/UBmnuVh+EqF/AL9i20GtZ73SPD7lGmO8X2E