1.2 直角坐标法

分析点相对于某一参考系运动时，采用直角坐标法也能很好地建立运动方程。这种方法的特征是以直角坐标系为基础，让直角坐标系固结于参考系上（图 1.4），沿坐标轴 x 、 y 、 z 分别取单位矢量 i 、 j 、 k ，则点 M 的矢径 r 可表示为式（1.4），式中 x 、 y 、 z 是 r 在相应坐标轴上的投影。点 M 运动时，其矢径 r ＝ r （ t ）为时间 t 和单值连续函数，即

称为点的直角坐标形式的运动方程。若已知点的运动方程，则在任何瞬时 t ，点在空间的位置均由式（1.4）的坐标（ x 、 y 、 z ）值一一对应。方程组（1.4）消掉时间 t 参变量后获得点的轨迹方程。将式（1.4）代入式（1.2），注意到单位矢量 i 、 j 、 k 均为大小、方向不变的常矢量，它们对时间的导数为零，即

设速度 v 在 x 、 y 、 z 轴上的投影分别为 v _x 、 v _y 、 v _z ，仿照式（1.4）有

比较以上两式，得

即点的速度在固定直角坐标轴上的投影，等于点的对应坐标函数对时间的一阶导数。由此可见，若已知点的运动方程，则根据式（1.7）求得点的速度在直角坐标轴上的投影 v _x 、 v _y 、 v _z 后，由下列公式可求得点的速度的大小和方向余弦如下：

同理，将式（1.5）代入式（1.3），得

设加速度 a 在 x 、 y 、 z 轴上投影分别为 a _x 、 a _y 、 a _z ，则加速度 a 还可表示为

比较以上两式，得

即点的加速度在固定直角坐标轴上的投影，等于该点速度对应投影函数对时间的一阶导数，也等于该点的对应坐标函数对时间的二阶导数。已知加速度 a 在直角坐标轴上的投影 a _x 、 a _y 、 a _z ，就可求得点的加速度的大小和方向余弦：

应用点运动的直角坐标法求解实际问题，通常有以下两种类型：

①已知动点运动的某些条件，求动点的运动方程、轨迹、速度和加速度；或已知机构的运动规律，求某一点的运动规律。

②已知动点的加速度及其运动初条件（即在 t ＝0 时动点的位置坐标和速度），求动点运动方程。

下面举例分析点运动的直角坐标法的应用。

【例 1.1】 曲柄连杆机构如图 1.5 所示。已知 OA ＝ AB ＝ l ，曲柄 OA 按规律 φ ＝ ωt 转动（ ω 为常数）。试求连杆 AB 上点 M （ AM ＝ b ）的运动方程、轨迹、速度和加速度。

【解】 （1）求点 M 的运动方程和轨迹。

取坐标系 OXY 如图 1.5 所示，已知点 M 到 A 点的距离为 b ，由图可见，当机构在任意位置 φ ＝ ωt 时，点 M 的坐标为

方程组（a）对应为点 M 的直角坐标形式的运动方程。运用数学方法从方程（a）中消去时间 t ，得到

方程（b）即是点 M 的运动轨迹方程，点 M 的运动轨迹是一个椭圆。改变点 M 在连杆 AB 上的位置，可以得到不同的椭圆。

（2）求点的速度和加速度。

将式（a）对时间 t 求一次导数，得到点 M 的速度在坐标轴 x 、 y 上投影的速度方程

每个瞬时点 M 的速度大小表示为

速度的方向为 M 点处的椭圆曲线的切线方向。

将式（c）对时间 t 再求一次导数，得到点 M 的加速度在坐标轴 x 、 y 上投影的加速度方程

每个瞬时点 M 的加速度大小为

式中， r 代表每个时刻点 M 到椭圆中心（坐标原点） O 的距离，加速度的方向由方向余弦表示为

由此得知：点 M 运动时，其加速度总是指向椭圆的中心。

【例 1.2】 如图 1.6 所示，摇杆机构的滑杆 AD 以速度 u 向上运动，摇杆 OC 绕 O 点转动，如初瞬时摇杆在水平位置，即 φ ＝0；摇杆 OC ＝ a ；滑道至铰支座的距离 OB ＝ l 。求 C 点的运动方程，以及 φ ＝ 时 C 点的速度。

【解】 取坐标系 Oxy 如图 1.6 所示，当机构在任意位置时， C 点的坐标为

在直角三角形 OAB 中， OB ＝ l ， AB ＝ ut ， AO ＝ l ² ＋（ ut ） ² ，代入式（a），得 C 点的运动方程得

将式（b）对时间 t 求导数，简化后得 C 点速度在坐标轴上的投影为

故 C 点速度的大小为

当 时，tan φ ＝ ＝1，则得此瞬时 C 点速度的大小为 Fy71pr2c7sELd6JzWYtybt9WMIBPt8Slz2uTtfxub6Q7xahiI9UmUk9uEv3gaSmY