1.1 矢量法

1.1.1 点的运动方程

点在空间的位置可以用矢量来表示。在矢量空间中，假设点 M 相对于某一参考系沿空间曲线 AB 运动（图 1.1），在参考系上任取一点 O 作为原点，自原点 O 到点 M 作一矢量 OM ，用矢量 r 表示， r 称为点 M 对于原点的 O 的矢径或位置矢。点 M 运动时，在不同的瞬时占据不同的位置，其矢径 r 的大小和方向都随时间变化。因此，矢径 r 是时间 t 的单值连续函数，可用矢量方程表示为

式（1.1）反映了点位位置和时间的一一对应关系，描述了点的位置随时间变化的规律，此数学方程式就是用矢量表示的点的运动方程。

当点 M 运动时，其矢径 r 的端点在空间划过一条曲线，此曲线称为矢径 r 的矢径端图，矢径 r 的矢径端图就是该动点时间历程的运动轨迹。

1.1.2 点的速度

点的速度是描述点在空间的位置变化时，其变化的方向及快慢的物理量，分为瞬时运动速度和平均运动速度。设从瞬时 t 到瞬时 t ＋Δ t ，动点的位置由 M 移动到 M′ ，其位置矢量分别为 r 和 r ′，如图 1.1 所示。动点的矢量在Δ t 时间的改变量为

Δ r 为动点在Δ t 时间内的位移，比值 称为动点在Δ t 时间内的平均速度 v ^∗ ，当Δ t →0时， 的极限称为动点的瞬时 t 的速度 v ，即

得到动点的速度等于点的矢径函数对时间的一阶导数。速度是一个矢量，由图 1.1 可知，其方向由位移变化矢量Δ r 的极限方向确定，应在沿轨迹 AB 上 M 点处的切线上，并指向动点移动的方向。速度的大小表明动点运动的快慢，也称为速率，在国际单位制中，常用的单位为米/秒（m/s）。

1.1.3 点的加速度

点的加速度是描写点的速度大小和方向变化率的物理量。设动点从瞬时 t 到瞬时 t ＋Δ t ，其位置由 M 移动到 M′ ，其速度由 v 变为 v ′，如图 1.2 所示。动点在Δ t 时间内速度的改变量为

比值 称为动点在Δ t 时间内的平均加速度 a ^* 。当Δ t →0 时， 的极限称为动点在瞬时 t 的加速度 a ，即

动点的加速度等于其速度变化函数对于时间的一阶导数，或等于它的矢径函数对于时间的二阶导数。当Δ t →0 时，加速度的方向沿Δ v 的极限方向，加速度的大小 在国际单位制中，加速度的常用单位为米/秒 ² （m/s ² ）。

当动点运动时，其速度的大小和方向都随时间而变化，在变化过程中其速度矢量的矢端画出一条曲线。如任选一固定点 O 作为速度矢量的原点，画出动点在不同瞬时的速度矢量，连接这些矢量的末端所得的曲线就得到速度矢端图（图 1.3）。由图可见，加速度 a 就是速度矢量 v 的端点 A 沿速度矢端图运动的切向矢量。因此，速度矢端曲线上对应于瞬时 t 的一点 A 的切线方向，也就是动点在瞬时 t 的加速度 a 的方向。