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欢欢同学最近正在响应学校的号召，学习雷锋做好事。这天，他遇见了给老师送书报的李伯伯，欢欢主动要求替李伯伯送一次书报，李伯伯同意了，但他对欢欢提出了一个要求：在送书报的过程中，不准走重复路线，也不准走重复办公室，最后还要回到遇到李伯伯的地方，也就是出发地。
已知，学校有7个办公室，各个办公室之间有互相连通的道路（如下图）。假如，欢欢是在A处遇到李伯伯的。小朋友，你觉得欢欢能完成任务吗？他应该怎样走呢？
办公室及线路图（注：欢欢在A点处）
悄悄告诉你们哦，这类趣题叫“一笔画问题”。即，从图形的一个点出发，笔不离开纸把这个图形画完，当然，每条线只能画一次，而且不能重复。
那么，是不是所有的图形都能一笔画完呢？
当然不是啦！只有某一部分图形可以一笔画成。
那怎样判断哪些图形能一笔画成？哪些不能呢？
方舟老师有一个非常棒的好方法，它就是： 通过图形的“单 数点”和“双数点”来判断。
所谓“单数点”，就是图形中那些由奇数条线相连的点。例如，下面图形中的A、D点，都是由3条线连接，所以叫“单数点”。所谓“双数点”呢，就是图形中那些由偶数条线相连的点。例如，下面图形中的B、C点，它们都是由2条线连接的，所以叫“双数点”。
一般来讲，一个图形能不能一笔画成与它包含的“单数点”有关，有0个或2个单数点的图形能够一笔画成，其他的则不能一笔画成。
如何才能一笔画成呢？
方舟老师再告诉你个秘密哦： 当图形中有两个“单数点” 时，一笔画的方法就是从一个“单数点”出发，到另一个“单数 点”结束。当图形中没有“单数点”时，从其中任何一个“双数 点”出发，最后仍以这个点作为终点，都能把它们一笔画出来。
掌握了这些关于一笔画的知识，我们这就一起来分析分析上面这道题吧。
分析题目给出的办公室线路图，A、B、C、D、E、F、G这7个点都是由两条线相连的点，所以，这7个点全是“双数点”。也就是说，它只有0个单数点，所以，这个图形可以一笔画成，所以，欢欢能够不重复地完成任务。
他应该这样走：从A点出发，依次经过D、G、F、E、B、C，然后再回到A点。具体行走路线如下图箭头所示：
仔细观察下列图形，数一数它们有多少个“单点数”，能一笔画成吗？应该怎样画呢？
图1
图2
解：观察上图，图1有E、F两个“单数点”，图2中有A、B两个“单数点”，所以，这两个图形都能一笔画成。
当图形中有两个“单数点”时，一笔画的方法就是从一个“单数点”出发，到另一个“单数点”结束。
所以，我们可以这样画，如图所示：
图1
图2
当然，这只是其中的一种画法。从另外一个“单数点”出发，仍然能够一笔画成。如果你不相信的话，不妨自己试着画画看吧！
秋天到了，小白兔菜园里的胡萝卜丰收了。看着这些又红又大的胡萝卜，善良的小白兔想要和小伙伴分享一下。于是，它精心挑选了一些胡萝卜，装成了6份，准备送给6个要好的小伙伴（6个小伙伴以及小白兔的住宅图如下，C点是小白兔家）。
可是，在送萝卜的过程中，小白兔非常的苦恼，因为它总会走不少重复的冤枉路。小朋友，你知道这是为什么吗？如果让你加一条路，使小白兔可以到达每一个小伙伴家，而且还不用走重复的冤枉路，你想把这条路加在哪儿呢？赶快来动手画一画吧！
我们先来分析一下：这道题目要求小白兔“能够到达每一个小伙伴家，而且不能走重复的冤枉路”，也就是要求图中的所有线段能够一笔画出来。
如何才能一笔画出来呢？方舟老师曾告诉过你们，一个图形能不能一笔画成与它包含的“单数点”有关，有0个或2个单数点的图形能够一笔画成，其他的则不能一笔画成。
小伙伴和小白兔的住宅图
根据观察，在这个住宅图中，一共有4个单数点，分别是：C、E、F、G。所以，这幅住宅图根本不符合一笔画图的要求。这就是小白兔走冤枉路的根本原因了。
因此，如果一定要让小白兔不走冤枉路，我们就必须要想办法把这个的住宅图改成能一笔画的图形。
如何把不能一笔画的图形变成能一笔画的图形呢？
方舟老师有一个超级棒的方法，它就是： 减少“单数点” 的个数 ，即把多个单数点减少到2个或0个。而减少“单数点”的个数，最简单的办法就是把其中任意两个“单数点”用线连接起来。
就像上面那个图形，只要轻轻地加上一条线，这个问题就能轻松搞定了。
你看，只要我们连接了E和G两点，这个图形的“单数点”一下就从4个变成了2个，也就是说，现在它就能一笔画成了。
小区内一共有9户人家需要送牛奶，可是，送牛奶的张叔叔非常苦恼，因为他每天都要走许多重复的路。小朋友，你知道这是为什么吗？你可以帮张叔叔规划规划，让他一次送完所有的牛奶，而且不走重复路吗？
以下就是张叔叔的送牛奶线路图：
我们先来试着分析一下：这道题目要求张叔叔能够把所有牛奶送到，而且不能走重复的冤枉路，也就是要求图中的所有线段能够一笔画出来。
根据观察，在这个小区图中，一共有4个单数点，分别是E、F、G、H。所以，这幅图根本不符合一笔画图的要求。这就是张叔叔每次都要走冤枉路的根本原因了。
因此，要使张叔叔不走重复路，就要把不能一笔画的图形改成一笔画的图形，也就是要减少单数点的数目。
有了这个思路，聪明的你肯定已经想到了，如图所示：
你看，只要我们连接了G和F两点，这个图形的“单数点”一下就从4个变成了2个，也就是说，现在它可以一笔画成了。当然，你还可以连接G、E两点，或F、H两点，或H、E两点，都能把“单数点”变成2个。
所以，只要我们在任意两个单数点之间建一条道路，张叔叔就不用走重复的冤枉路了。
1．判断下列各图能不能一笔画出，并说明你的理由。
图1
图2
图3
2．以下是某小区的送水线图，送水师傅不想走重复路线，请你帮他设计一种合理的方案，让他以最快的速度将水送到每户人家去。
3．小区里一共有7个邮筒，（见下图），邮递员叔叔每次送信，总会走不少重复的冤枉路。你知道这是为什么吗？如果让你给小区加一条路来解决这个问题，你想把这条路加在哪儿呢？赶快动手画一画吧！
1． 解 ：一个图形能不能一笔画成与它包含的“单数点”有关，有0个或2个单数点的图形能够一笔画成，其他的则不能一笔画成。所以，解决这道题的关键就是数一数图形中“单数点”的个数。
图1中有3个单数点，所以不能一笔画成。
图2没有单数点，所以能一笔画成。
图3没有单数点，所以能一笔画成。
答 ：图1不能一笔画成，图2和图3可以一笔画成。
2． 解 ：题目要求让送水师傅快速地将水送到每一户人家，而且还要不走重复路线。所以，这是一个典型的“一笔画问题”。
仔细观察，我们会发现，这个图形有两个单数点，分别是A点和D点。
应该如何规划路线呢？
还记得方舟老师说过吗？当图形中有两个“单数点”时，一笔画的方法就是从一个“单数点”出发，到另一个“单数点”结束。所以，送水师傅无论从A和D出发都不用走重复路，就能把鲜奶送到每户人家去。
不信你看下面的路线：
方案还很多种，在此就不一一画出了，但不管方案有多少种，它的规律是不会变的，那就是——从一个“单数点”出发，到另一个“单数点”结束。
3． 解 ：我们先来试着分析一下：这道题目要求邮递员叔叔“能够到达每一个邮筒，而且不能走重复的冤枉路”，也就是要求图中的所有线段能够一笔画出来。
根据观察，在这个小区图中，一共有四个单数点。所以，这幅图根本不符合一笔画图的要求。而这就是邮递员叔叔每次都要走冤枉路的根本原因了。
所以，解决这道题的关键就是： 将不能一笔画的图形改成能 一笔画的图形。而将不能一笔画的图形改成能一笔画的图形关键 就是减少单数点的个数。
而减少单数点的个数，最简单的方法就是在任意两个单数点之间连一条线，把这两个单数点变成双数点，使图形中只剩下两个单数点。
如图所示：
当然，方案还很多种，在此就不一一画出了，但不管方案有多少种，它的规律是不会变的，那就是——在任意两个单数点之间建一条道路。