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2.1.1 周期结构的模式展开分析法

考虑如图2.1所示由两种材料a和b构成的一维周期性光栅结构,两种材料的相对介电常数分别为 ε a ε b ,宽度分别为 a b Λ-a )。光栅沿 x 方向的周期为 Λ ,沿 y z 方向均匀延伸。简单起见,仅考虑角频率为 ω 的电磁波沿 z 方向垂直入射该结构,且电场分量沿 y 方向偏振(TE模式),电场可表示为

式中, β 为模式沿 z 方向的传播波矢,在两种媒质中相同; k a k b 为两种媒质中的横向波矢,与 β 的关系满足

图2.1 一维周期性光栅结构示意

根据麦克斯韦方程 ,可进一步推导出

根据边界连续性条件,电场切向分量和磁场切向分量应在 x = a 处连续,即

且布洛赫连续性条件要求 x =0处的电磁场与 x = Λ 处的电磁场相等,因此有

将式(2.4)~式(2.7)写成矩阵形式为

由行列式可得到TE模式的色散方程为

类似地,TM模式的色散方程为

根据色散方程式(2.9)或式(2.10)求解 β ,即可进一步得到该偏振态下准确的等效折射率: n eff = β / k 0 KC7QQPJS9Xtf+4OicQkG9JXWHVY3gz2QHIOCs5zIFJxTTtn6eLTiR/8CVs4mgmxg

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