3.5 三铰拱

3.5.1 基本概念

拱是指杆件轴线为曲线并且在竖向荷载作用下会产生水平反力的结构。这种水平反力指向结构，故又称为水平推力。拱与梁的区别不仅在于杆件轴线的曲直，更重要的是在竖向荷载作用下有无水平推力存在。凡是在竖向荷载作用下能产生水平推力的结构都可称为拱式结构或推力结构。

由于有水平推力，拱的弯矩要比跨度、荷载相同的梁（即相应简支梁）的弯矩小很多，并且主要是承受压力，各截面的应力分布较为均匀。因此，拱比梁节省用料、自重较轻，能够跨越较大的空间；同时，可以用抗拉性能较差而抗压性能较好的砖、石、混凝土等材料来建造，这些是拱的主要优点。拱的支座要承受水平推力，需要有较坚固的基础或支承物，构造较复杂、施工难度大，则是拱的缺点。

工程中常用的单跨拱有无铰拱、两铰拱和三铰拱（图3－32a、b、c），其中，前两种为超静定拱，三铰拱是静定拱。本节只讨论静定拱的计算。

在拱结构中，有时在两支座间设置拉杆，用拉杆来承受水平推力，如图3－33a所示。这种结构在竖向荷载作用下，支座不产生水平反力，但是结构内部的受力与拱并无区别，称为带拉杆的拱。拉杆有时做成折线形式（图3－33b），以便获得较大的净空。

现以图3－34为例说明拱的各部名称。拱的两端支座处称为拱趾，两拱趾的连线称为起拱线，两拱趾间的水平距离 l 称为跨度，两拱趾连线为水平线的拱称为平拱，为斜线的拱称为斜拱，拱身各截面形心的连线称为拱轴线。常用的拱轴线形式有抛物线和圆弧线，有时也采用悬链线。拱轴线最高点称为拱顶，通常在拱顶处设置铰，称为顶铰，又称中间铰。从拱顶到起拱线的竖直距离 f 称为矢高。矢高与跨度之比 f / l 称为高跨比，在工程结构中，高跨比在0.1 ～ 1之间。

3.5.2 三铰拱的计算

下面通过图3－35a所示竖向荷载作用下的平拱，讨论支座反力和内力的计算方法，并与相应简支梁加以比较，说明拱的特性。

1．支座反力

三铰拱与基础的联结符合三刚片规则，支座反力共有四个，除了取全拱为隔离体列出三个平衡方程外，还需取左（或右）半拱为隔离体，利用中间铰 C 处弯矩为零的条件，建立∑ M _C ＝ 0的平衡方程。

首先考虑拱的整体平衡，由∑ M _B ＝ 0及∑ M _A ＝ 0，求得 A 、 B 支座的竖向反力：

由∑ F _x ＝ 0可得：

再取左半拱为隔离体，由∑ M _C ＝ 0可得：

对比图3－35b可知，式（a）、（b）的右边恰好等于相应简支梁的竖向支座反力 、 ，式（d）右边的分子则等于与拱的中间铰相对应的简支梁 C 截面的弯矩 。因此，以上各式可写为：

式（3－5）的第三式表明，推力 F _H 等于相应简支梁 C 截面弯矩 与矢高 f 之比。当荷载和跨度给定时， 即为定值，而当中间铰位置确定之后，矢高 f 亦随之给定，此时 F _H 为确定值。可见，水平推力 F _H 只与荷载及三个铰的位置有关，而与各铰之间的拱轴线形状无关。换言之， F _H 只与拱的高跨比 f /l有关，拱愈陡， f /l愈大， F _H 愈小；拱愈平坦， f /l愈小， F _H 就愈大。当 f ＝ 0时， A 、 B 、 C 三个铰将位于同一直线， F _H 趋于∞ ，此时结构成为瞬变体系。

2．内力

如图3－35c所示，拱任一横截面 K 的位置可由该截面形心的坐标 x _K 、 y _K 以及 K 处拱轴切线的倾角 φ _K 确定。截面 K 的内力有弯矩 M _K 、剪力 F _QK 、轴力 F _NK 。通常规定弯矩以使拱内侧纤维受拉为正；剪力以绕截面顺时针转为正；轴力以压力为正（拱以受压为主）。计算 M _K 时，可取 K 截面以左部分为隔离体，由∑ M _K ＝ 0得：

由于 ，故方括号内之值恰等于相应简支梁截面 K 的弯矩 于是有：

式（3－6）表明，拱内任一截面 K 的弯矩 M _K 等于相应简支梁对应截面的弯矩 减去推力引起的弯矩 F _H y _K 。可见，推力的存在使三铰拱的弯矩比相应简支梁的弯矩要小。

任一截面 K 的剪力 F _QK 等于该截面一侧所有外力沿截面方向投影的代数和，由图3－35c可得：

注意到相应简支梁 K 截面的剪力 ，上式可改写为：

式中 φ _K 为 K 截面处拱轴切线的倾角，左半拱为正，右半拱为负。

任一截面 K 的轴力 F _NK 等于该截面一侧所有外力沿截面法线方向投影的代数和，由图3－35c可知：

用 代入上式得：

由三个内力表达式可知，内力是截面位置（ x _K 、y _K 、 φ _K ）的函数，因而也就与拱轴线形状有关。

3．绘制内力图

绘制拱的内力图，一般以拱轴沿水平方向的投影（即拱的跨度）为基线，并将其划分为若干等份，然后由内力计算式求出各相应截面的内力值，并在基线上按比例用纵标画出，最后用光滑的曲线将各纵标顶点相连。与梁和刚架一样，在集中力偶作用处，弯矩图有突变，在集中力作用处，剪力图、轴力图有突变。绘图时，应分别计算集中力、力偶作用处两侧截面的内力。剪力为零的截面，弯矩将出现极值。利用这些特点，可以快速对内力图进行检查。此外，拱的各截面内力计算烦琐，宜采用Excel。

需要指出，上述反力和内力的计算公式仅适用于在竖向荷载作用下的平拱。对于带拉杆的三铰拱（图3－33），可由整体三个平衡条件求出支座反力，然后截断拉杆、拆开顶铰，取左半拱或右半拱为隔离体，由∑ M _C ＝ 0 求出拉杆内力；对于斜拱（图3－34）或非竖向荷载作用下的平拱，四个支座反力可由整体三个平衡方程和顶铰弯矩为零的条件求出。支座反力及拉杆内力求出后，即可由截面法计算内力。

例 3－11 试绘制图3－36a所示抛物线三铰拱的内力图。拱轴方程 y ＝ 4 fx （ l － x ）/ l ² ，跨度 l ＝ 16m，矢高 f ＝ 4m。

解： （1）求支座反力。由公式（3－5）求得：

（2）内力计算。将拱跨分为若干等份，本例取8等份，每份长Δ x ＝ l /8 ＝ 2m。由内力计算式可知， M 、 F _Q 、 F _N 值与 F _H 、 M ⁰ 、 、y、sin φ 、cos φ 有关，其中：

将各分段点的 x 值代入上述表达式，即可由式（3－6）、（3－7）、（3－8）求出 M 、 F _Q 、 F _N 值。具体计算见表3－1。

比较表3－1中 M ⁰ 、 M 列数值，可知拱截面弯矩 M 比相应简支梁对应截面弯矩 M ⁰ 小很多，可见推力的存在使拱结构弯矩大大减少。

（3）绘制内力图。将等分截面的 M 值竖标在基线上标出，顶点以光滑的曲线相连，即得 M 图（图3－36b）。相同的作法可得 F _Q 图和 F _N 图，如图3－36c、d所示。

注意：截面6的 F _Q 、 F _N 值有突变、 M 值有尖点。

3.5.3 三铰拱的合理拱轴线

由前述可知，三铰拱的内力与拱轴线形状有关，若能使拱截面弯矩处处为零（由微段弯矩与剪力的微分关系可知，此时剪力也处处为零），而只有轴力，此时各截面都将处于均匀受压状态，材料将得以充分利用，相应的拱截面尺寸也将最小，因而也是经济、合理的，这样的拱轴线称为合理拱轴线。

设计合理拱轴线的依据就是拱截面弯矩处处为零。对于竖向荷载作用下的三铰平拱，任一截面的弯矩由式（3－6）确定，当拱轴为合理拱轴线时，则有 M ＝ M ⁰ － F _H y ＝ 0，由此得：

上式表明，竖向荷载作用下的三铰拱，其合理拱轴线的纵坐标 y 与相应简支梁的弯矩图成正比。因此，当拱三个铰的位置和竖向荷载已知时，只要求出相应简支梁的弯矩方程 M ⁰ ，再除以常数 F _H ，便是合理拱轴线方程。有时，相应简支梁的弯矩方程无法事先写出，这时可根据合理拱轴弯矩处处为零的条件，列出相应的平衡微分方程，也能获得合理拱轴线。下面结合算例说明。

例 3－12 试求图3－37a所示对称三铰拱在均布荷载 q 作用下的合理拱轴线。

解： 拱的相应简支梁如图3－37b所示，任意截面弯矩 M ⁰ 为：

由式（a）得 M ⁰ _C ＝ ql ² ／8，代入式（3－5）第三式求得拱水平推力 F _H 为：

将上两式代入式（3－9）得：

可见，在竖向荷载作用下，三铰拱的合理拱轴线为二次抛物线。

例 3－13 图3－38所示对称三铰拱，矢高 f ，跨度 l ，承受填料重量的作用，分布荷载集度 q （x）＝ q _C ＋ γy ，其中 q _C 为拱顶处的荷载集度， γ 为填料容重。试求拱的合理拱轴线方程。

解： 本例拱轴任一点处的荷载 q （x）与拱轴方程 y 有关，但 y 未知，故无法由 q （x）写出 M ⁰ ，也就无法按式（3－9）获得 y 。但是，根据合理拱轴各截面弯矩处处为零的条件，在图3－38所示坐标系下，式（3－9）可写为： M ＝ M ⁰ － F _H （ f - y ）＝ 0，即

式（a）对 x 微分两次得：

设 q （x）以向下为正，由式（3－2a）可知， ＝－ q，则式（b）可写为：

将 q （x）＝ q _C ＋ γy 代入式（c）得：

式（d）就是符合题意要求的合理拱轴线的微分方程。这是一个二阶常系数线性非齐次微分方程，其解可表示为：

式中， A 、 B 为积分常数，根据边界条件， A 、 B 可确定如下：

由 x ＝ 0， y ＝ 0得： A ＝ q _C ／ γ

由 x ＝ 0， y ＇＝ 0得： B ＝ 0

将 A 、 B 代入式（e）得：

上式就是填料荷载作用下三铰拱的合理拱轴线方程，它是一条悬链线，又叫双曲线。

引入比值 m ＝ q _K /q _C ，这里， q _K 为拱趾处的荷载集度， m ＞ 1。由题意有： q _K ＝ q _C ＋ γf 。

于是得：

再引入无量纲自变量 ，并令 ，则公式（f）可写为：

式（h）表示的曲线称为列格氏悬链线。式中 K 与 m 的关系可由下列条件确定：当 ξ ＝ 1时， y ＝ f ，由上式可得： chK ＝ m 。由双曲函数的性质 sh ² K ＝ ch ₂ K －1 有 shK ＝ 。再由 shK ＋ chK ＝ e ^K 得：

式（i）两边取对数可求得：

给定拱顶与拱趾荷载集度之比值 m ，由式（j）求出 K ，便可由式（h）确定合理拱轴线方程。

例 3－14 图3－39a所示三铰拱全跨承受沿拱轴法线方向的均布压力（例如水平放置的拱承受水的侧压力），试求其合理拱轴线。

解： 本题虽不是竖向荷载，但仍可以从拱中任取长度d s 的微段进行分析。假定拱轴为合理拱轴，则微段两端横截面上弯矩、剪力均为零，在均布荷载 q 和两端截面的轴力 F _N 及 F _N ＋ d F _N 共同作用下，微段处于平衡，如图3－39b所示。由∑ M _o ＝ 0可有：

式中 ρ 为微段的曲率半径。由上式得：

式（b）表明， F _N ＝常数。

再列出微段各力沿 s － s 轴的投影方程，可有：

由于d φ 角很小，可近似取 于是式（c）可写为 F _N － qρ ＝ 0，即

因 F _N 为常数， q 为均布压力，故 ρ 也为常数。这说明三铰拱在沿拱轴法线方向的均布压力作用下，拱的曲率半径处处相同，其合理拱轴线为圆弧线。

由以上算例可知，合理拱轴的确定与拱上的荷载有关。工程实际中，作用于拱上的荷载是变化的，因此难以获得理想化的合理拱轴，只能是力求所选的拱轴线接近合理拱轴线。 dA9ups9FPaWjQTLlez35jANlBTQG7uAksRIjNVzZCZMyzV1qfXtFzYquAZrUNcjN