3.4 静定平面桁架

3.4.1 桁架的基本概念

桁架结构在土木工程中应用非常广泛，房屋中的屋架、钢桁架桥、施工支架等都是桁架结构的工程实例。图3－18a所示为一钢筋混凝土屋架示意图，图3－18b是其计算简图。

为了简化计算，又能反映桁架结构的主要受力特征，通常对实际桁架的计算简图采用如下假定：

（1）各杆联结的结点都是绝对光滑且无摩擦的理想铰；

（2）各杆轴线都是直线，并在同一平面内且通过铰结点中心；

（3）荷载和支座反力都作用在结点上，并位于桁架平面内。

符合上述假定的桁架，称为理想平面桁架。可见，理想平面桁架是由同一平面内若干直杆在其两端用铰联结而成的几何不变体系。

在理想桁架中，各杆均为两端铰结的直杆，在结点荷载作用下，杆件内力只有轴力，截面应力分布均匀且能同时达到极限值，材料得到充分利用。与截面应力不均匀的梁相比，桁架可节省用料、减轻自重，并能跨越更大的跨度。

实际桁架与理想桁架并不完全相同。首先，实际桁架的结点是各杆由铆接、焊接或螺栓联结而成，具有一定的刚性，各杆之间不可能像理想铰那样毫无摩擦地自由转动；其次，各杆轴线也不可能绝对平直，在结点处也不是完全相交于一点；再次，在自重、风荷载等非结点荷载作用下，杆件还会产生弯曲应力，等等。这些都使实际桁架的内力与理想情况求得的内力有一定误差。通常把按理想桁架求出的内力（杆件轴力）称为主内力，与之相应的应力称为主应力；而把上述因素引起的内力（主要是弯矩）称为次内力，与之相应的应力称为次应力。理论分析和实验表明，当杆件长细比 l / r ＞ 100 时，次应力可忽略不计。对于必须考虑次应力的桁架，可将其各结点视作刚结点，与刚架一样采用矩阵位移法计算。本节只讨论以理想桁架为计算简图的内力计算。

桁架各杆按照所在位置，分为弦杆和腹杆。桁架上下边缘的杆件称为弦杆，上边缘为上弦杆，下边缘为下弦杆。上下弦杆之间的杆件称为腹杆，腹杆又分为斜杆和竖杆。弦杆上相邻两结点间的区间称为节间，其间距d 称为节间长度。两支座间的水平距离 l 称为跨度。支座连线至桁架最高点的距离 H 称为桁高，如图3－19所示。

按照不同的特征，静定平面桁架分类如下：

（1）按照桁架外形，可分为平行弦桁架、折弦桁架和三角形桁架（图3－20a、b、c）。

（2）按照在竖向荷载作用下有无水平支座反力（又称水平推力），可分为梁式桁架，又称无推力桁架（图3－20a、b、c）和拱式桁架，又称有推力桁架（图3－20d）。

（3）按照几何组成方式，可分为简单桁架，它是由基础或一个基本铰结三角形开始，依次增加二元体所组成的桁架（图3－20a、b、c）；联合桁架，它是由几个简单桁架按几何不变体系的基本组成规则所联成的桁架（图3－20d、e）；复杂桁架，它是不属于上述两类桁架的其他静定桁架（图3－20f）。

静定桁架的支座反力计算与梁和刚架的支座反力计算相同。桁架杆件内力只有轴力，规定以受拉为正。计算内力可选取桁架某一部分为隔离体，然后列出含有杆件未知内力的平衡方程并求解。如果只选取一个结点为隔离体，则称为结点法（也可称为单结点法）；如果隔离体包含两个或两个以上的结点，则称为截面法（也可称为多结点法）。

3.4.2 结点法

在结点荷载作用下，取桁架一个结点为隔离体时，隔离体上的力是一平面汇交力系，可以列出两个独立的平衡方程。因此，用结点法一次只能求两个杆件的内力。设 j 、 b 、 r 依次代表桁架的结点数、杆件数、支座链杆数，由静定桁架的计算自由度可有2 j ＝ b ＋ r ，即方程式数目等于未知力数目，故所有内力及反力总可以用结点法求出。由几何组成分析可知，简单桁架是从基本铰结三角形开始，依次增加二元体组成的。如果按照与几何组成相反的顺序，从最后一个结点开始，用结点法一个结点一个结点地倒算回去，这样，每个结点的未知力都不会超过两个，也就能求出所有杆件内力，从而避免求解结点间的联立方程。计算时，假定杆件受拉，若计算结果为正，则为拉力，反之为压力。

为方便计算，常需要把斜杆的轴力 F _N 分解为水平分力 F _{N x} 和竖向分力 F _Ny 。设斜杆长度为 l ，其水平和竖向投影长度分别为 l _x 和 l _y ，则 F _N 、 F _{N x} 、 F _Ny 与 l 、 l _x 、 l _y 分别构成两个相似三角形（图3－21），由相似比可有：

式中， F _N 、 F _{N x} 、 F _{N y} 只有一个是独立的，任知其一，便可求出其余两个。

例 3－8 试用结点法计算图3－22a所示桁架各杆内力。

解： （1）求支座反力。由整体平衡条件∑ F _y ＝ 0、∑ M _A ＝ 0及∑ F _x ＝ 0求得：

F _Ay ＝ 36kN （↑） F _Bx ＝－96kN （←） F _Ax ＝－ F _Bx ＝ 96kN （→）

（2）求各杆内力。从 G 点开始，依次取结点 G 、 E 、 F 、 D 、 C 为隔离体，每次未知力都不超过两个。

结点 G ：隔离体见图3－22b，假定杆件受拉（拉力方向背离结点），由∑ F _y ＝ 0得：

利用式（3－3）的比例关系，由 F _GEy ： F _GEx ： F _NGE ＝ 3：4：5，求得：

由∑ F _x ＝ 0得： F _NGF ＝－ F _GEx ＝ 16kN （拉力）

结点 E ：隔离体见图3－22c。为避免混乱，将已求出的 GE 杆内力按实际方向画出，不标正负号，只标数值，正内力方向背离结点，负内力方向指向结点。以后求出的杆件内力也照此处理。

由∑ F _x ＝ 0得： F _NEC ＝－16kN （压力）

由∑ F _y ＝ 0得： F _NEF ＝ 12kN （拉力）

结点 F ：图3－22d为隔离体图，由∑ F _y ＝ 0有 F _FCy ＝－24kN

利用式（3－3）求得： F _FCx ＝－32kN， F _NFC ＝－40kN （压力）

由∑ F _x ＝ 0得： F _NFD ＝ 16－ F _FCx ＝ 48kN （拉力）

结点 D 、 C ：隔离体如图3－22e、f所示。用与以上相同的作法，可得：

再取结点 A 为隔离体，此时只有一个未知力 F _{N AB} ，由∑ F _y ＝ 0求得：

最后将各杆内力标在杆件旁，如图3－22a所示。

（3）校核。对受力简单的结点，如结点 D 、 G ，可由观察校核是否满足平衡条件；对受力复杂的结点，可通过计算校核，例如取结点 C 验算，结果满足平衡条件。

本例也可以按 A 、 B 、 D 、 C 、 E 、 F 的顺序计算。

熟悉结点法后，对杆件几何关系简单的情况，可直接对照计算简图求轴力，而无须绘结点隔离体图。例如本例，各斜杆长与水平投影、竖向投影之比值均为5：4：3，此比值也是杆件轴力与水平、竖向分力之比。从 G 点开始，由斜杆 F _GEy ＝－12kN，按比值关系求得 F _GEx ＝－16kN， F _NGE ＝－20kN，将各值像图3－22a那样标于杆旁。然后将 F _GEx 、 F _GEy 作用到 E 点，可心算求出 F _NEC 、 F _NEF 。接下来将 F _NEF 作用到 F 点，由∑ F _y ＝ 0 求得 F _FCy ＝－24kN，由比值求得 F _FCx ＝－32kN， F _NFC ＝－40kN，由∑ F _x ＝ 0求得 F _NFD ＝ 48kN，将它们标于杆旁。如此这般，再按结点 D 、 C 、 B 的顺序，可一直求出各杆轴力。

有时某一结点上内力未知的两杆都是斜杆。此时，可采用改变坐标轴方向或者选取适当的矩心求解。如图3－23a所示桁架，求出支座反力后，可选结点 A 为隔离体，取 x 轴与 F _NAD 垂直（图3－23b），由∑ F _x ＝ 0求 F _NAC 。还可用更简便的作法：取 D 点为矩心，将 F _NAC 在 C 点分解为 F _ACx 和 F _ACy （图3－23c），由∑ M _D ＝ 0求出 F _ACx ＝－ F _P a/c ，再由几何关系求出 F _NAC 。类似地，将 F _NAD 在 D 点分解，由∑ M _C ＝ 0可求出 F _ADx ＝ F _P a/c ，进而可得 F _NAD 。

值得指出的是，桁架中有些特殊结点，根据汇交力系的平衡条件，不必计算就可以判断出杆件内力的特征，从而使计算大为简化。说明如下：

（1） L 形结点（两杆结点）。不共线的两杆相交的结点上无荷载时（图3－24a），两杆内力均为零。

（2） T 形结点（三杆结点）。三杆汇交的结点上无荷载且有两杆在同一直线上时（图3－24b），则共线的两杆内力大小相等、性质相同（同为拉力或压力），第三杆内力为零。

（3） X 形结点（四杆结点）。四杆汇交的结点上无荷载且四个杆件两两共线时（图3－24c），则每一个共线的两杆内力大小相等、性质相同。

（4） K 形结点（四杆结点）。四杆汇交的结点无荷载，其中两杆共线，另两杆在直线的同一侧且与直线的夹角相等。若共线的两杆轴力相等、性质相同，则不共线的两杆内力为零；若共线的两杆轴力不等（图3－24d），则不共线的两杆内力大小相等、性质相反（一个拉力、一个压力）。

以上结论均可用投影方程证明。例如图3－24b所示结点，取 x 轴与 F _N1 、 F _N2 重合，则由∑ F _y ＝ 0可得 F _N3 ＝ 0，由∑ F _x ＝ 0可得 F _N1 ＝ F _N2 。

通常将桁架中内力为零的杆件称为零杆。在桁架内力分析时，某个结点的受力（包括结点荷载和杆件轴力）只要符合上述四种情形之一，不必计算就能直接判断出杆件的内力特征。例如图3－25a所示桁架在图示荷载作用下，按 T 形结点可判定标有“0”的杆件轴力皆为零， AD 、 BJ 杆压力均为 F _P 。对图3－25b所示桁架，按 L 形结点、 T 形结点判断，同样可知杆旁有“0”的杆件是零杆。

需要指出，尽管静定桁架在某一给定荷载作用下，有些杆件轴力为零，但这些杆件对保证结构几何不变却必不可少。

3.4.3 截面法

截面法是用一个适当的截面（平面或曲面）截取桁架两个或两个以上的结点为隔离体，再由平衡条件计算杆件内力。一般情况下，作用于隔离体上的各力属于平面一般力系，因此，用截面法能够求出不多于三个杆件的未知力。为了避免联立求解，使用截面法应适当选择力矩方程或投影方程，以使每个方程只含一个未知力。

截面法适用于计算联合桁架以及简单桁架只求少数杆件内力的情况。例如，对图3－26所示联合桁架，若用结点法将会遇到未知力超过两个的结点而无法计算，而用截面法，取Ⅰ－Ⅰ截面任一侧为隔离体，由∑ M _C ＝ 0 求出 DE 杆轴力，其余杆件内力便不难求得。又如，图3－27a所示简单桁架，若只求 a 、b、c三杆内力，用结点法要取6 个结点计算，而用截面法，先取Ⅰ－Ⅰ截面之左为隔离体（图3－27b），由∑ M _D ＝ 0，∑ F _y ＝ 0，求得 a 、b杆内力；再取Ⅱ－Ⅱ截面之左部分（图3－27c），由∑ F _y ＝ 0 可求出 c 杆内力，显然计算简便。

有时，选取的隔离体上杆件未知力数多于3 个，但只要除了欲求内力的杆件之外，其余各杆均能汇交于一点或全平行，则欲求的杆件内力仍可求出。例如图3－28a所示桁架，截面Ⅰ－Ⅰ截断五根杆件，若只求 a 杆内力，由于所截其余杆件均汇交于 C 点，可由∑ M _C ＝ 0计算之。又如图3－28b所示桁架，求 b 杆内力时，可作Ⅰ－Ⅰ截面（截断4根），取截面以上部分为隔离体，由∑ F _x ＝ 0求出。

例 3－9 试用截面法计算图3－29a所示桁架指定杆件的内力。

解：（1）求反力。由结构整体平衡条件∑ F _x ＝ 0、∑ M _B ＝ 0、∑ F _y ＝ 0求得：

（2）求 a 杆内力。取Ⅰ－Ⅰ截面之左为隔离体（图3－29b），除 a 杆外，其余被截断三杆相交于 G 点，由∑ M _G ＝ 0得：

（3）求 b 杆内力。取Ⅱ－Ⅱ截面之左为隔离体（图3－29c）。 F _Na 已知，除 b 杆外，其余被截两杆交于 C 点，将 F _Nb 在其作用线的 F 点分解为水平、竖向分力，由∑ M _C ＝ 0得：

求得： F _Nbx ＝－2 F _P ／9

再由比例关系知： F _Nb ＝－5 F _P ／18 （压力）

3.4.4 结点法和截面法联合应用

结点法和截面法是计算桁架内力的两种基本方法。联合使用这两种方法，可以更快地求出桁架各杆内力。

例 3－10 试计算图3－30所示联合桁架各杆内力。

解： （1）求反力。取桁架整体为隔离体，支座反力假设方向如图3－30 所示。由观察可知， F _Ax ＝ 0。

由∑ M _B ＝ 0有18 F _Ay ＝ 12 × （4 × 3 ＋ 2 × 3 ＋ 3），即 F _Ay ＝ 14kN （↑）

由∑ F _y ＝ 0有 F _By ＝ 3 × 12－14 ＝ 22kN （↑）

（2）由特殊结点判断杆件内力。结点5、6、10 为 T 形结点，杆件4－5、6－7、9－10为零杆；结点3、8符合 X 形结点，杆件3－4、8－9受压，压力为12kN。

（3）用结点法。取结点 A 为隔离体，利用斜杆轴力与分力的比值求得：

F _NA-1 ＝－14 × 5/4 ＝－17.5kN （压力） F _NA-2 ＝ 17.5 × 3/5 ＝ 10.5kN （拉力）

同样，由结点 B 可求得： F _NB-11 ＝－27.5k N （压力）， F _NB-12 ＝ 16.5k N （拉力）

（4）用截面法。取Ⅰ－Ⅰ截面以左部分，由∑ M ₇ ＝ 0、∑ M ₁ ＝ 0可得：

由∑ F _y ＝ 0求得 F _4－7y ＝ 2kN，再由比例关系得： F _N4-7 ＝ kN （拉力）

取Ⅱ-Ⅱ截面之右为隔离体，以结点11为矩心，由∑ M ₁₁ ＝ 0求得：

（5）由特殊结点判断杆件内力。由结点3、6、8可判断出：

由结点5、10可判断出：

结点7为 K 形结点，由于共线的两杆轴力不等，因而有：

（6）杆件1－2、1－4、2－4和杆件9－11、9－12、11－12的轴力可用结点法求出，不再赘述。

将各杆内力标于杆旁，如图3－30所示。

（7）校核。取结点4验算：

由∑ F _x ＝ 0有

由∑ F _y ＝ 0有

均满足平衡条件。

3.4.5 各式桁架受力性能的比较

不同外形的桁架，对内力分布和构造影响很大，适用场合亦各不相同。了解不同形式桁架的内力分布、构造及应用范围，对设计时合理选用桁架很有帮助。

图3－31a、b、c所示为三种常用的梁式桁架：三角形桁架、平行弦桁架、抛物线形桁架，跨度均为 l ，在上弦承受相同的均布荷载 q ＝ 6/ l （图中已化为等效结点荷载），各杆内力示于杆旁，现比较它们的受力性能。为方便起见，对腹杆轴力的变化用投影方程说明；对弦杆内力的变化用根据力矩方程得到的统一计算公式（3－4）说明。

式中， r 是求弦杆内力时的力臂。在图3－31a、b、c中 r 为计算第二节间下弦杆内力时的力臂。 M ⁰ 是相应简支梁（图3－31d）与求弦杆内力时的矩心对应截面的弯矩，在均布荷载作用下， M ⁰ （x）＝ q （ l － x ） x ／2，按抛物线规律变化。

在三角形桁架中（图3－31a），弦杆所对应的内力臂为 r ＝ 2 hx / l ，是由两端向中间按直线规律递增的，力臂 r 的增速比 M ⁰ （x）快，故弦杆的轴力由两端向中间递减。腹杆的轴力可由投影方程求出，由图3－31a可知，轴力是由两端向中间递增的。

在平行弦桁架中（图3－31b），弦杆的内力臂是一常数（ r ＝ h ），因此弦杆的轴力与 M ⁰ （x）的变化规律相同，即两端小中间大。由投影方程计算可知，竖杆轴力与斜杆轴力的竖向分量各等于相应简支梁对应节间的剪力，它们均由两端向中间递减。

在抛物线形桁架中（图3－31c），用力矩方程求下弦杆轴力时，力臂 r 就是矩心处的竖杆长度，由于矩心处对应的 M ⁰ 和力臂 r 由两端向中间都是按抛物线规律变化的，因此由式（3－4）可知，下弦各杆内力大小都相等。同理可知，各上弦杆轴力的水平分量大小也相等。同时因上弦杆倾斜度不大，从而上弦各杆轴力也近似相等。由于下弦杆轴力和上弦杆轴力的水平分量大小相等、方向相反，由∑ F _x ＝ 0可知，各斜杆的轴力均为零。竖杆的轴力在上弦结点承受荷载时，由下弦结点的平衡条件可知为零，但在下弦结点承受荷载时等于结点荷载。

根据上述分析，可得结论如下：

（1）三角形桁架的内力分布不均匀，弦杆内力在接近支座处最大。如采用相同的截面，则造成材料浪费；如按内力改变截面，则会增大拼接困难。同时，在两端结点处杆件的夹角甚小、内力很大，使得构造复杂，制作困难。但因其两个斜面符合屋面排水的需要，故在跨度较小的屋盖结构中得到应用。

（2）平行弦桁架的内力分布也不均匀，弦杆内力向跨中增大。若各节间改变截面，则会增大拼接困难；若采用相同的截面，又浪费材料。但它在构造上有许多优点，如所有弦杆、竖杆和斜杆的长度分别相同，有利于标准化，便于构件制作和施工，材料浪费也不大，因而在轻型桁架中（例如厂房中12m以上的吊车梁和跨度50m以下的桥梁）应用广泛。

（3）抛物线形桁架的内力分布均匀，材料使用最为经济。但其上弦杆在每一节间的倾角都不同，结点构造复杂，施工不便。不过，在大跨度结构中（例如跨度100 ～ 150m的桥梁和18 ～ 30m的屋架），节约材料显著，故常被采用。 LFMfct5eeTx3/MNrZFxfEqkP+K6Ty0KqWmRlvbmNGrwrnImVAfbGoChY6wsfEWmZ