3.3 静定平面刚架

刚架是由梁和柱主要用刚结点组成的结构。刚结点把梁和柱刚结在一起，能够增大结构的刚度，使内部空间较大，便于使用。在受力方面，刚结点能够承受和传递弯矩，结构内力分布比较均匀，峰值较小，节约材料。因此，在工程中应用广泛。

常见的静定平面刚架有悬臂刚架（图3－14a）、简支刚架（图3－14b）、三铰刚架（图3－14c）以及由基本部分与附属部分组成的组合刚架（图3－14d）。

对刚架受力分析，一般是先求支座反力和结点约束力，再计算杆件内力、绘内力图，基本方法仍是截面法。前两节关于求反力、内力的反向为正规律及绘内力图的作法也同样适用。由于刚架的杆件方向各异，几何组成也相对复杂，因此，对刚架计算还需要作如下说明。

悬臂刚架、简支刚架的支座反力，可由三个独立的平衡方程求出。三铰刚架有四个支座反力，计算时除利用整体三个平衡方程外，还需取中间铰任一侧为隔离体，列出力矩平衡方程。计算组合刚架的反力，应遵循“先附属，后基本”的顺序。

刚架杆件内力有轴力 F _N 、剪力 F _Q 、弯矩 M 。为了明确内力所在截面的位置，在内力符号后面引用两个脚标：第一个表示内力所在截面，第二个表示该截面所属杆件的另一端。内力正负号规定：轴力以使截面受拉为正；剪力以绕截面顺时针转动为正；弯矩以使水平杆、斜杆下侧纤维受拉为正，竖杆右侧纤维受拉为正。

刚架 M 图用区段叠加法绘制。 F _N 图则根据杆端轴力值绘出。 F _Q 图用力矢平移绘制，即从箭尾→箭头→平移前进方向为顺时针区段标“＋ ”号，逆时针区段标“－”号。此外，斜杆上有荷载作用时， F _Q 值可由杆端内力及杆件荷载列出平衡方程计算并绘图。

F _Q 、 F _N 图可绘在杆件任一侧，但要注明正负号； M 图绘在杆件纤维受拉一侧，不必标正负号。

例 3－5 试计算图3－15a所示简支刚架，绘制内力图。

解： （1）求反力。支座反力假设指向如图3－15a所示。

由∑ F _x ＝ 0， F _Ax ＝ 5 × 4 ＋ 10 ＝ 30kN （←）

用∑ M _A ＝ 0，4 × F _By ＝ 5 × 4 × 2 ＋ 10 × 6 ＋ 10，求得 F _By ＝ 27.5kN （↑）

由∑ F _y ＝ 0， F _Ay ＝－ F _By ＝－27.5kN （↓）

（2）绘 F _Q 图。

AC 杆，将 F _Ax 向上平移；在 AD 段与均布力矢量相加、 C 点与10kN叠加；力矢平移时箭尾→箭头→前进方向为顺时针转，在轨迹图上标“＋ ”号。

DB 杆，将 F _Ay ＝－27.5kN （↓）平移到 D 点然后向右平移；到 E 点（10kN·m），力矢值不变，到 B 点与 F _By 叠加；力矢平移时箭尾→箭头→前进方向为逆时针转，轨迹图上标“－”号。

简支刚架 F _Q 图如图3－15b所示。

（3）绘 F _N 图。 F _N 图与基线平行。由 C 、 B 点可知， DC 杆、 DB 杆 F _N 图为零。对 AD 杆， F _Ay 指向向下，截面受拉，大小为27.5kN，绘出与基线平行的线，标“＋ ”号，即得 F _N 图（图3－15c）。

（4）绘 M 图。

DC 杆：由截面法求得 M _DC ＝－20kN·m （左拉）， M _CD ＝ 0，将两个弯矩竖标顶点直线相连。

AD 杆： M _AD ＝ 0，取 AD 杆为隔离体，由截面法求得 M _DA ＝ 80kN·m （右拉），将两端弯矩顶点用虚线相连，叠加均布荷载（5kN/m）作用下的弯矩图。

DB 杆：由截面法求得 M _DB ＝ 100kN·m （下拉），支座 B 处 M _BD ＝ 0。用虚线将 M _DB 、 M _BD 的竖标顶点相连，叠加集中力偶（10kN·m）作用下的弯矩图。

整个结构的 M 图如图3－15d所示。

（5）校核。从观察和计算两方面校核，观察校核就是查看内力图规律是否满足。例如集中力作用处 F _Q 图有无突变， M 图有无转折；均布荷载作用区段 F _Q 图是否为斜直线， M 图是否为抛物线；铰结点弯矩是否为零，等等。经观察，各内力图均满足与荷载的微分关系。

计算校核通常是验算刚结点、某杆件或结构某一部分是否满足平衡条件。现取结点 D 验算，各杆端弯矩如图3－15e所示，求得：∑ M _D ＝ 100－80－20 ＝ 0，满足力矩平衡条件； D 点各杆端 F _Q 、 F _N 值标于图3－15f，由投影方程求得∑ F _x ＝ 10－10 ＝ 0 及∑ F _y ＝27.5－27.5 ＝ 0，均满足力投影平衡条件。

例 3－6 试作图3－16a所示三铰刚架的内力图。

解： （1）反力假设指向如图3－16a所示。取结构整体为隔离体，按反向为正规律计算。

由∑ M _A ＝ 0有10 × F _By ＝ 6 × 5 × 7.5，求得： F _By ＝ 22.5kN （↑）

由∑ F _y ＝ 0有 F _Ay ＝ 6 × 5－ F _By ＝ 7.5kN （↑）

取 AC 部分为隔离体，由∑ M _C ＝ 0有：6 × F _Ax ＝ 5 × 7.5，即 F _Ax ＝ 6.25kN （→）

考虑结构整体平衡，由∑ F _x ＝ 0求得： F _Bx ＝ 6.25kN （←）

为方便绘制斜杆 CE 的内力图，再取 BC 部分为隔离体，由∑ F _x ＝ 0、∑ F _y ＝ 0求得：

（2）绘 F _Q 图。

竖杆 AD ：将 F _Ax 向上平移，箭尾→箭头→前进方向为逆时针转，力矢平移轨迹图标“－”号。

竖杆 BE ：将 F _Bx 向上平移，箭尾→箭头→前进方向为顺时针转，力矢平移轨迹图标“＋ ”号。

斜杆 DC ：取 AD 杆为隔离体（图3－16e），由投影方程有：

注意到sin α ＝ 0.371，cos α ＝ 0.928，上式可得： F _QDC ＝ 4.64kN，即 DC 杆 F _Q 图为正。

斜杆 CE ： F _Q 图为斜直线，需求两个截面剪力。由铰 C 约束反力在杆件截面方向投影可得：

取 BE 杆为隔离体（图3－16f），由投影方程有：

将 F _QCE 、 F _QEC 标在基线两端，用直线相连，即得 CE 杆剪力图。

整个刚架的 F _Q 图如图3－16b所示。

（3）作轴力图。斜杆 CE 有 q 作用， F _N 图为斜直线，其余杆 F _N 图与基线平行。

AD 杆： F _Ay 指向截面 A ， F _N ＝－7.5kN （压力）

BE 杆： F _By 指向截面 B ， F _N ＝－22.5kN （压力）

DC 杆：取 AD 杆为隔离体（图3－16e），由截面法求得：

CE 杆：由铰 C 约束反力在杆件轴线方向投影求得：

再取 BE 杆为隔离体（图3－16f），由截面法求得：

将各杆杆端轴力标于基线上，顶点用直线相连即得 F _N 图，如图3－16c所示。

（4）作弯矩图。 AD 、 DC 、 BE 杆 M 图均为直线。已知 M _AD ＝ M _CD ＝ M _CE ＝ 0，由截面法求得 M _DA ＝－25kN·m （左拉）， M _DC ＝－25kN·m （上拉）， MEB ＝25kN·m （右拉）。

将以上弯矩标在相应杆端，各杆件两端竖标顶点用直线相连。

CE 杆 M 图为抛物线，已知 M _CE ＝ 0，由结点 E 力矩平衡可知 M _EC ＝－25kN·m （上拉），用虚线连接 M _CE 与 M _EC 竖标顶点，再叠加 q 作用下的弯矩图，中点弯矩为：

整个刚架的 M 图如图3－16d所示。

（5）校核。观察 M 图可知，各杆均满足弯矩与荷载的微分关系。

计算校核结点 C 是否满足投影方程。将图3－16b、c中的 F _QCD 、 F _NCD 、 F _QCE 、 F _NCE 标于结点 C （图3－16g），将它们代入投影方程∑ F _x ＝ 0、∑ F _y ＝ 0，可知均满足平衡条件。

例 3－7 试作图3－17a所示组合刚架的弯矩图。

解： 刚架 ACDB 为基本部分，两侧为附属部分。按“先附属，后基本”的顺序绘 M 图。

EFG 部分：对 EF 杆， M _EF ＝ 0，由截面法求得 M _FE ＝－18kN·m （左拉），将 M _EF 、 M _FE 竖标顶点连线，再叠加均布荷载（4kN/m）作用下的弯矩图。

对 FG 杆， M _GF ＝ 0，由刚结点性质可知， M _FG ＝ M _FE ＝－18kN·m （上拉），将 M _FG 、 M _GF 竖标顶点直接相连。

HIJ 部分：对 IJ 杆，区段无横向力，弯矩图为零。

对 HI 杆， M _HI ＝ 0， M _IH ＝ M _IJ ＝ 0，直接绘出 HI 杆在均布荷载（4kN/m）作用下的弯矩图。

ACDB 部分： EFG 部分通过 G 点作用于 AC 杆的水平力 F _Gx ＝ 12kN （→）， C 点受水平力10kN作用，由∑ F _x ＝ 0 求得 F _Ax ＝－22kN （←）， M _AC ＝ 0，由截面法求得 M _GA ＝66kN·m （右拉）、 M _CA ＝ 86kN·m （右拉），将 M _AC 、 M _GA 、 M _CA 竖标顶点依次用直接相连。

对 BD 杆，杆件无横向力，弯矩图为零。

对 CD 杆， C 点为刚结点，有 M _CD ＝ M _CA ＝ 86kN·m （下拉）， D 点受力偶20kN·m作用，有 M _DC ＝ 20kN·m （上拉），杆件无横向力，将两端弯矩竖标顶点直接连线。

整个刚架 M 图如图3－17b所示。