结构力学新方法最新章节_郭仁俊著

3.2 静定梁

3.2.1 单跨斜梁

单跨斜梁也是单跨静定梁的一种，梁式楼梯的楼梯梁、雨篷中的斜杆、屋面斜梁等都是单跨斜梁的工程实例。图3－8a、b为楼梯梁的示意图及计算简图。

图3－8

单跨斜梁的内力计算和内力图绘制，与单跨水平梁相同，但应注意斜梁的特点。

首先，由于斜梁倾角的存在，其内力除有剪力、弯矩外，通常还有轴力。绘制内力图时，基线仍然平行于斜梁轴线，各内力的竖标也与基线（梁轴线）垂直。

其次，斜梁承受的均布荷载可有：①与轴线垂直的荷载 q ₁ （图3－9a），如屋面斜梁的风荷载；②沿水平方向分布的荷载 q ₂ （图3－9b），如斜梁上的可变荷载；③沿斜梁倾斜方向分布的荷载 q ₃ （图3－9c），如斜梁自重。计算时应分清是哪种情况。

图3－9

现以图3－10a所示简支斜梁为例说明计算过程。

（1）求反力。取斜梁整体为隔离体，各反力假设指向见支座处，由式（3－1 ）求得：

（2）求内力。以支座 A 为原点， x 轴水平向右，任一截面 K 的位置用 x 、α表示。取 K 截面以左为隔离体（图3－10b），由∑ F _n ＝ 0、∑ F _τ ＝ 0及∑ M _K ＝ 0可得截面内力：

（3）作内力图。由以上三式可绘出 F _N 、 F _Q 、 M 图，如图3－10d、e、f所示。

图3－10

（4）讨论。画出斜梁的相应简支梁（即荷载、跨度均与斜梁相同），如图3－10c所示，其对应 K 截面的内力表达式为：

将式（d）（e）分别代入式（a）（b）（c）可得：

由式（f）知，在沿水平方向分布的竖向荷载作用下，斜梁的弯矩与相应简支梁的弯矩相等，最大弯矩值位于斜梁中点处，其值为 ql ² ／8。注意：这里 l 是指斜梁的水平投影长度。式（f）对竖向集中力作用的情况同样适用。

3.2.2 多跨静定梁

多跨静定梁是由若干根梁用铰相联，并用若干支座与基础相联而成的静定结构，在桥梁工程及屋盖的檩条中可以见到。图3－11a为一公路桥的多跨静定梁，图3－11b是其计算简图。

图3－11

从几何组成来看，多跨静定梁有的部分能够与基础独立地维持几何不变性，这部分称为基本部分，如图3－11b的 AC 部分。而有的部分则必须依赖基本部分才能维持几何不变性，称为附属部分，如图3－11b中的 CE 、 EF 部分。为了清晰地显示各部分之间的支承关系，将附属部分与基本部分之间的铰用相应的链杆代替，基本部分画在下层，附属部分画在上层，便得到各杆件的传力关系图，称为层叠图，图3－11c就是图3－11b的层叠图。基本部分和附属部分的基本特征是：若附属部分被破坏或撤除，基本部分仍为几何不变体；反之，基本部分被破坏，则与其相联的附属部分必然随之倒塌。

从受力分析来看，当荷载仅作用于基本部分时，只有基本部分受力，附属部分不受影响；当荷载作用于附属部分时，不仅附属部分受力，而且与其相联的基本部分也要受力。由于多跨静定梁的支座反力多于三个，计算时可绘出层叠图，先求出最上层附属部分的支座反力和铰结处约束力（用 F _Q 加铰结点下标表示）；再将该约束力反向作用到与其相联的基本部分上（用 F _Q ′加铰结点下标表示），求出下一层的反力、约束力；直到求出最底层的支座反力。这样，不用解联立方程就能求出全部反力和约束力。这种先附属部分，后基本部分的计算顺序（简称“先附属，后基本”），同样适用于由基本部分和附属部分组成的其他静定结构。

约束力和支座反力求出后，即可按上节方法逐段绘制内力图。

例 3－3 试计算图3－12a所示多跨静定梁。

解：（1）作层叠图。 AB 部分为基本部分，画在下层。 BD 、 DF 部分均要通过铰与左边部分相联才能维持平衡，依次画在上层，如图3－12b所示。

（2）求支座反力。各支座反力假设指向见图3－12a。梁上只有竖向荷载，由∑ F _x ＝ 0可知，支座 A 水平反力 F _Ax 及各铰结处水平约束力都为零，故梁轴力为零。按“先附属，后基本”的顺序，由反向为正规律求反力和约束力（各约束力指向均假设向上）。

DF 部分：由∑ M _D ＝ 0，2 F _Ey ＝ 20，即 F _Ey ＝ 10kN （↑）

由∑ F _y ＝ 0， F _QD ＝－ F _Ey ＝－10kN （↓）

BD 部分： D 端受 F ′ _QD ＝－10kN （↑）作用，由∑ M _B ＝ 0，求得 F _Cy ＝－20kN （↓）

由∑ F _y ＝ 0， F _{Q B} ＝－ F _Cy ＋ F′ _QD ＝ 10kN （↑）

AB 部分： B 端受 F ′ _QB ＝ 10kN （↓）作用，由∑ M _A ＝ 0， M _A ＝ 5 × 2 × 1 ＋（10 ＋ 10）×4 ＝ 90kN·m （上拉）

由∑ F _y ＝ 0， F _Ay ＝ 5 × 2 ＋ 10 ＋ 10 ＝ 30kN （↑）

（3）绘制 F _Q 图。将 F _Ay 向右平移，并与遇到的同方向力矢量相加，在力矢移动的轨迹图，按箭尾→箭头→前进方向为顺时针部分标“＋ ”，否则标“－”，即得 F _Q 图，如图3－12c所示。

（4）绘制 M 图。将梁分为 AH 、 HB 、 BD 、 DE 、 EF 五段。取 AH 段为隔离体，由力矩方程求得 M _H ＝－40kN·m；铰结点 B 、 D 处 M _B ＝ M _D ＝ 0；另由 EF 段求得 M _E ＝ M _F ＝－20kN·m。

AH 段为二次曲线，用虚线连接 MA 、 MH 竖标顶点，叠加5kN/m作用下的弯矩图。对 HB 段，用实线连接 MH 、 M _B 竖标顶点；对 BD 段，直接作出相应简支梁在 F _Cy 作用下的弯矩图；对 DE 、 EF 段，用实线连接 M _D 、 ME 和 ME 、 M _F 竖标顶点。

多跨静定梁的 M 图如图3－12d所示。

图3－12

例 3－4 三跨静定梁如图3－13a所示，各跨跨度均为 l ，受均布荷载 q 作用。①试调整铰 C 、 D 的位置，使 AB 跨、 EF 跨跨中截面正弯矩与支座 B 、 E 处负弯矩绝对值相等；②计算此时全梁的最大正弯矩。

解：（1）求铰 C 、 D 的位置。 CD 段为附属部分； AC 、 DF 段为基本部分。设铰 C 、 D 分别距支座 B 、 E 为 x ，由 CD 段求得 C 、 D 处约束力为： F _QC ＝ F _QD ＝ q （ l －2 x ）／2 （↑），如图3－13b所示。 AC 、 DF 段荷载、梁长均相同，现取 AC 段求 x 值。