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由于几何不变体系的各部分之间不能产生相对运动，因此分析平面体系的几何组成时，可以从体系平面运动的自由度和受到的约束两个方面来研究。
自由度是指体系运动时可以独立变化的几何参变量的数目，或者说确定体系位置所需要的独立坐标数目。
在平面内，确定一个点的位置需要 x 、 y 两个坐标，如图2－2a所示。所以一个点的自由度为2。
一个刚片在平面内运动时，其位置可由它上面任一点 A 的两个坐标 x 、 y 和过 A 点的任一直线 AB 的倾角 φ 来确定，如图2－2b所示。因此一个刚片在平面内的自由度为3。
图2－2
若在某个几何可变体系中加入一些限制运动的装置，它的自由度将减少，这种限制体系运动的装置称为约束，也称联系。凡减少一个自由度的装置称为一个约束。最常见的约束是链杆和铰。
如图2－3a所示，用一根链杆将刚片的 A 点与地基相联，则该刚片不能沿链杆方向移动，确定刚片的位置只需两个独立坐标参数：链杆的倾角 φ 1 及刚片上过 A 点任一直线的倾角 φ 2 ，其自由度由3减少为2，故一根链杆为一个约束。在图2－3b中，用一个光滑的圆柱铰把刚片Ⅰ和Ⅱ在 A 点联结起来，这种联结两个刚片的圆柱铰称为单铰。用单铰联结前，两个刚片的自由度为6；联结后，刚片Ⅰ和Ⅱ各自可绕 A 点独立转动（2个自由度），同时还有随 A 点的移动（2 个自由度），自由度总数为4。因此一个单铰相当于两个约束。
图2－3
有时用一个圆柱铰同时联结三个或三个以上的刚片，这种铰称为复铰。如图2－3c所示，三个刚片原有9个自由度，用复铰联结后，各自可绕 A 点转动（3个自由度），再加上各刚片随 A 点的移动（2个自由度），共5个自由度，从而减少4 个自由度。可见，联结三个刚片的复铰相当于两个单铰的作用。类似地分析可知，联结 n 个刚片的复铰相当于（ n －1）个单铰的作用。在图2－4所示的几种情况中，圆柱铰联结的刚片数依次为4、3、2，换算成单铰数则为3、2、1。
此外，固定支座将使一根杆件不能产生任何移动和转动，相当于3根链杆约束。
图2－4
图2－5
如果在体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此而减少，则此约束称为多余约束。例如，平面中的一根梁为一个刚片，有3 个自由度，用一根水平链杆和两根竖向链杆与基础相联，就可以固定不动，其真实自由度为零。但在图2－5所示梁中，多加了一根竖向链杆，体系仍为几何不变，即真实自由度还是为零。因此，三根竖向链杆中有一根是多余约束。现把竖向链杆中的任一根视作多余约束去掉，剩余链杆便是体系几何不变所必需的约束，称为必要约束。可见，只有必要约束才能减少体系的自由度，而多余约束对保持体系几何不变是不必要的，但从改善结构的受力和使用方面考虑，有时是需要的。
平面体系通常由若干刚片彼此用铰联结，再用支座链杆与基础相联而成。设体系的刚片数为 m ，单铰数（包括复铰换算的单铰）为 h ，支座链杆数（包括固定支座、固定铰支座换算的链杆）为 r ，则各刚片均不受约束时，体系的自由度总数为3 m ，受到的约束总数为（2 h ＋ r ），假设每个约束都能减少一个自由度，则体系受约束后的自由度为：
注意，式中 h 代表的单铰数目不包括刚片与支座链杆联结的铰。
以图2－6为例，链杆 BD 、 EF 、 FG 均可视作刚片； AED 部分由两个直杆刚结在一起，彼此之间无任何相对运动，故可作为一个刚片；同样 CGD 部分也作为一个刚片，刚片总数 m ＝ 5。结点 E 、 F 、 G 均为联结两个刚片的单铰，结点 D 为联结三个刚片的复铰，换算后的单铰数 h ＝ 5，支座链杆数 r ＝ 4。由式（2－1）可得
自由度数是1，故为几何可变体系。
图2－6
图2－7
然而 W 并不一定是体系的真实自由度数，因为真实自由度数还与体系中是否有多余约束有关。如图2－7所示的两个体系，它们均为 m ＝ 9， h ＝ 12， r ＝ 3，由式（2－1）求得自由度数都是 W ＝ 0。但只有图2－7a所示体系是几何不变，而图2－7b所示体系，左边部分有多余约束，右边部分又缺少必需的约束，虽然 W ＝ 0，但体系是几何可变的。又如，图2－5所示梁是静止不动的，真实自由度数为零，但按式（2－1）求得 W ＝－1。可见， W 并不能反映体系自由度的真实情况，为此称为计算自由度。不过当 W ＞ 0 时，可以判断体系缺少必需的约束数目。
完全由两端用铰联结的杆件所组成的体系，称为铰结链杆体系。这类体系的 W 值，除用式（2－1）计算外，还可用更简便的公式计算。若以 j 代表体系的铰结点数， b 代表杆件数， r 代表支座链杆数，则各铰结点不受约束时的自由度数为2 j ，设每根杆件都起一个约束的作用，则体系的约束总数为（ b ＋ r ），于是可得体系的计算自由度数为：
仍以图2－7所示铰结链杆体系为例，按式（2－2）计算， j ＝ 6， b ＝ 9， r ＝ 3，于是
可见两个公式计算结果相同。
若不考虑体系与基础的联结，即 r ＝ 0，则体系本身在平面内有3 个自由度，此时只需检查体系本身各部分之间相对运动的自由度（简称为内部自由度），用 V 表示。显然，在式（2－1）和式（2－2）中，用 V ＋ 3 代替 W ，并取 r ＝ 0，可得到一般体系和铰结链杆体系内部计算自由度为：
几何不变体系要求每个刚片都不能发生运动，因此体系的真实自由度是零。当体系中存在能够发生运动的刚片时，该刚片自由度就大于零，体系必然为几何可变。
综上可知，计算自由度 W （或 V ）仅仅表示体系自由度总数与约束总数之差。若平面体系按式（2－1）～式（2－4）计算，求得的结果为：
（1） W （或 V ）＞ 0 ，表明体系缺少必要约束，不满足必要条件，无论有无多余约束，都是几何可变体系；
（2） W （或 V ）＝ 0，表明体系具有几何不变的最少约束，但不知是否有多余约束，因此不能判别体系是否几何不变；
（3） W （或 V ）＜ 0 ，表明体系具有多余约束，但不知是否缺少必要约束，因此也不能判别体系是否几何不变。
总之，只要 W （或 V ）＞ 0，体系就不满足几何不变的必要条件，一定是几何可变的；而 W （或 V ）≤0，虽然满足几何不变的必要条件，但仍无法确定是否几何不变，这就需要根据几何不变体系的基本组成规则来判断。