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1903年10月，哥伦比亚大学教授弗兰克·纳尔逊·科尔（Frank Nelson Cole，1861—1926）（图23）给美国数学学会做了一次非常奇怪的演讲。
图23 弗兰克·纳尔逊·科尔
科尔是一个沉默寡言的人，即使在最好的时候也是这样，但在这个特别的场合，他在整场演讲中一句话都没说。
取而代之的是，他在黑板上写下了算式：
2 67 -1
然后通过笔算将它乘出来，直到最终得到：
147 573 952 589 676 412 927
然后，在另一块黑板上，他写下了以下乘积：
193 707 721×761 838 257 287
并再次通过笔算将这一乘积算了出来，最后两块黑板给出了相同的答案。
然后他坐了下来。
为了弄清楚这里到底发生了什么，我们需要简短地探索一下有点奇怪的素数世界。
素数是只能被自身和1整除的正整数。
例如，13是素数，但15不是，因为它可以被3或5整除。
最前面几个素数是：
2，3，5，7，11，13，17，19，23，…
任何正整数要么是素数，要么是可以写成两个或多个素因数乘积的合数（图24）。
图24 260的素因数
所以，可以表示为2 n -1的形式的素数在理论中扮演着特殊的角色，这些数以法国修道士马林·梅森（Marin Mersenne，1588—1648）的名字命名。
只有当 n 本身是素数时，梅森数才可能是素数，最前面几个例子是素数：
2 2 -1=3
2 3 -1=7
2 5 -1=31
2 7 -1=127
然而，下一个素数 n =11给出的梅森数提供了一个不是素数的实例：
2 11 -1=2047
=23×89
因此， n 是素数对于2 n -1是素数是必要条件，但不是充分条件。
当科尔在1903年走上讲台时，人们实际上早就已经知道了2 67 -1不是素数。问题在于它的素因数如此之大，以至于没有人能够找到它们！
事实上，即使在现在，对于一些确实非常大的数，要找出它们的各个素因数也几乎是不可能的，而且，正如许多读者很可能知道的那样，这正是公钥密码学和互联网安全的基础。
梅森素数继续在理论中扮演着重要角色，因为在撰写本文时，已知的最大素数就是梅森型的：
2 82589933 -1
它有超过2400万位数字。
不过，素数永远不会有“用完”的危险。
这是因为我们有2000多年前的一个非凡的结果，它表明素数的数量是无限的。
我们将用反证法来证明这一点，我们下面使用的方法对亚历山大城欧几里得的原始证明做了改动。
图25 亚历山大城的欧几里得
假设素数的个数是有限的。
那么就会存在某个最大的素数，我们称之为 p 。
现在考虑将所有素数相乘并加上1得到的数：
N =2×3×5×…× p +1
这个数肯定大于 p ，因为 p 是最大的素数，所以这个新的数 N 不可能是素数。因此，必定可以把它写成几个素数的乘积，也就是说，它必定至少能被一个素数整除。
但事实并非如此，这是由我们构建它的方式得出的：如果你用 N 去除以（假定是完整的）列表2，3，5，…， p 中的任何一个素数，你总是会得到余数1。
由此，我们就得出了一个矛盾，唯一的出路只能是最初的假设是错误的。
所以素数的数量是无限的。