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请想象一下……

数学通常需要一点想象力，在初等几何中可以找到很多好的例子。

为了明白我的意思，请先拿一副圆规，用它来画一个圆，然后画出它的一条直径，端点为A和B（图18）。

图18 泰勒斯定理

最后，取圆周上的任意点P，并用直线将其与A和B相连。

那么PA与PB的夹角总是90°。

这个令人惊讶的结果被称为泰勒斯定理（ Thales’s theorem ），可以追溯到公元前600年左右的古希腊。

我们很快就会看到，要证明这一点是需要一点想象力的。

虽然人们有时认为是泰勒斯引入了几何学，将其作为一门严谨有序的、归纳演绎的学科，但真正将定理和证明的整个概念提升到新的、开创性高度的，是大约300年后的欧几里得（Euclid）。

尽管欧几里得的《几何原本》（ Elements ）有着极其简洁的阐述风格（甚至可能正因为如此），但它比人类历史上几乎任何其他书籍都有着更大的影响力，出版了更多的版本（图19）。

图19 欧几里得《几何原本》一个流行的英文版，译自德·沙勒（de Chasles）的法语原版

例如，在19世纪，伊顿公学有一位校长，人们曾经这样说他。

他把世界上的书分为三类：

第一类：《圣经》；

第二类：欧几里得的《几何原本》；

第三类：其他所有书。

为了证明泰勒斯定理，我们需要欧几里得早已证明了的两个关于三角形的结论。

第一个，如果我们有一个等腰三角形，即有两条边相等的三角形，那么它的两个“底角”总是相等的（图20）。

图20 一个等腰三角形

我猜测有很多人会觉得这个特殊的结论是相当显而易见的。毕竟，如果我们简单地“翻转”图20中的三角形，它看起来会和翻转前完全一样。

我们需要的第二个结论虽然是众所周知的，但我认为它远没有那么明显。这个结论是：任何三角形的三个内角相加之和都是180°。

在这方面，许多读者很可能会熟悉图21中的这个小实验。我们将一个纸三角形撕开，然后重新摆放这些碎片，将它们拼成看上去像一条直线，我认为值得说清楚这样做为什么不是一个证明。这不仅仅是因为这种方法有不可避免的“实验误差”，更根本的原因是，每次实验都仅涉及一个特定的三角形。

图21 三角形的内角和，取自W. D. 库利（W. D. Cooley）的《几何原理：简化与解释》（ Elements of Geometry Simplifed and Explained ，1860）

然而，这个结论对任意三角形都是成立的。事实上，这正是我们未来的任务所需要的……

我们想证明，如果P是图18中半圆上的任意一点，那么∠APB=90°。

至少根据我的经验，我们几乎从来没有仅仅盯着原始图看，就能证明几何中的任何东西。我们几乎总是要对它做点什么。换句话说，我们必须摆弄这个问题，这样试试，再那样试试。

因此，想象一下，使点P离开该半圆，把它移到远离A和B的地方。至少对我来说，似乎很明显，这样我们就可以使∠APB变得很小。类似地，将P移动到离圆心O足够近的位置，我们就可以使∠APB尽可能接近180°。

这就表明，如果P的位置是任意的，那么我们要求的结论显然不成立，因此我们必须找到一种方法，从数学上来表达P位于半圆周上。

圆是用下面的性质来定义的：一个圆上的所有点到圆心O的距离都相同。所以最实际的方法似乎是连接线段OP，并注意到OP=OA=OB。

事实证明，这个稍微需要一点想象力的步骤是一个神来之笔，因为我们突然发现我们得到了两个等腰三角形。

因此，在图22中，两个“底角” a 相等，另外两个底角 b 也相等。

图22 泰勒斯定理的证明

最后，根据原始三角形APB的三个角加起来必定是180°，就有

a +（ a + b ）+ b =180°

所以，2（ a + b ）=180°，由此可得（ a + b ）=90°。所以∠APB=90°。这样，泰勒斯定理就得到了证明！