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另一种戏法

数学最大的乐趣之一在于它所使用的一些实际方法，我一直很喜欢构成反证法基础的整个思想。

这种方法的主旨是要表明如果某个命题不成立，那就会出现某种矛盾或荒谬的情况，从而证明该命题成立。

这种证明方法的唯一缺点是，你通常无法事先知道矛盾或荒谬会如何产生。

因此，你必须保持头脑清醒！

图13 这是反证法？或者只是有点类似？夏洛克·福尔摩斯（Sherlock Holmes）的这句名言出现在《绿玉皇冠案》（ The Adventure of the Beryl Coronet ）中

为了说明反证法，我现在想借助于幻方这一实例，它是我所知道的用简单素材来呈现优雅数学的最佳例子之一。

幻方是指一个数字方阵，其中每一列、每一行、每条对角线上的数字之和都相同，这个和就称为这个幻方的“幻方常数” M 。

图14展示了一个最简单的例子，其中只用到前9个整数。

图14 一个幻方

但是，如何才能构造出这样一个幻方呢？

第一步是计算出幻方常数 M ，这很容易，因为1，…，9这些数加起来等于45，幻方中一共有3行，每一行之和就是 M 。

所以此时 M 一定是15。

答案是5，我们可以用反证法来证明。

首先假设图15中间格子里的数小于5，比如说是4。

图15 哪个数放中间？

于是接下来的问题是：1要放在哪里？我们无论把1放在哪里，都会发现有一些行、列或对角线上最多只能做到1+4+9=14，而不是15。如果中间格子里的数是3、2或1，同样的问题也会出现。

因此，中间格子里的数不能小于5。

如果我们把一个大于5的数放进中间格子，比如说6，我们就会遇到一个类似的问题：9要填在哪里才行？

所以中间格子的数字必须是5。

我们也可以用反证法来证明这一点。

那么，假设9可以填入一个角落的格子里（图16），在这种情况下，对角格子里的数必须是1。

图16 采用反证法的另一个证明

但是这样一来，我们就需要图16中的A+B=6和C+D=6同时成立，然而这是不可能的，因为1和5已经“用掉”了，只剩下三个小于6的数字，即2、3和4。它们不可能同时满足上面这两个等式，所以9不能填入任意一个角落的格子里。

在将9填入一个非角落的格子后［图17（a）］，我们现在需要E+F=6。现在只有2、3和4可以用，这样就有两种可能性：E=2，F=4或E=4，F=2。

图17 最后几步

借助幻方常数15，若选择第一种可能性，我们再继续填下去，就会得出一开始的那个幻方（图14），若选择第二种可能性，就会得出图17（b），而这本质上是同一个幻方，只是从“背面”看而已。

事实上，仅包含1，2，…，9这九个数的幻方只有一个，其他的都是对图14的“微不足道”的重新排列，比如说旋转。

* * *

然而，尽管前面的一些论述确实阐明了反证法的概念，但是它们还没有真正反映出它的全部威力。

这是因为我们每次都只是用它摒弃了少量的其他可能性。

然而，可以说，只有当要被摒弃的其他可能性的数量无限多时，反证法的全部威力才会真正发挥出来。