07
数学家为什么痴迷于证明？

数学中的一些题目可能表述起来很容易，但要解答却很难。

举例来说，1886年，布里斯托尔的克利夫顿学院（Clifton College）（图26）院长J. M.威尔逊（J. M.Wilson）向全校公布了下面这道“挑战题”：

图26 布里斯托尔克利夫顿学院，1898年

证明最多用四种颜色就可以给任何平面地图上色（相邻的国家有不同的颜色）。

这个问题当时已经存在了大约30年，图27显示了一个确实需要四种颜色的简单例子。

图27 一幅需要四种颜色的简单地图

威尔逊要求他的年轻学生们在“12月1日当天或之前”提交解答，但附带了一个严格的条件：

任何解答都不得超过30行一页的手稿或一页图表。

但事实证明，这太过于乐观了。

90年后，当K. 阿佩尔（K. Appel）和W. 黑肯（W. Haken）最终证明四色定理时，该证明包含了1万张图表，打印相关计算过程的纸在地面上堆了4英尺（1.2米）高。它甚至提出了有关数学中整个证明概念的一些基本问题。

我认为，对许多人来说，关于证明的关键问题更为实际，即：数学家究竟为什么如此痴迷于证明？

当然，最显而易见的答案是，如果没有证明，所讨论的命题可能就是错误的（图28）。

但是，如果我们更深入地探究，问一下这是如何发生的，那么我们就会发现，这在很大程度上是因为数学家总是喜欢做出一般性的论断，声称这样或那样的陈述在无限多的特例中都是正确的。

从某种意义上说，这是去追求一种时时有挑战的惊险生活。

图28 这是一位典型数学研究者一周的安排。
这种略带戏谑的看法应归功于朱莉娅·鲁宾孙（Julia Robinson，1919—1985）

例如，考虑以下陈述：

命题：对于所有正整数 n ，991 n 2 +1都不是一个完全平方数。

这里所说的“完全平方数”是指一个整数的平方，除非你碰巧是数学这一领域中的专家（我肯定不是），否则很自然的做法是从考虑几个简单的例子开始。

例如，若 n =1，则991 n 2 +1=992，这不是一个完全平方数，最接近的完全平方数是31 2 =961。

若 n =2，我们求得991 n 2 +1=3965，这可以说是“差一点”，因为63 2 =3969。

尽管如此， n =2也就不会给出一个完全平方数。原则上，我们可以使用计算机以这种方式一直检查下去，直到比如说 n =1000。

如果你觉得一千个特例还不够，那一百万个呢？

甚至，比如说，一万亿亿个？

事实上，即使检验了这么多个特例，毕竟还是远不够好。

这个命题就是错误的，但让我们得知它是错误的最小 n 值是

n =12 055 735 790 331 359 447 442 538 767

此时991 n 2 +1是一个完全平方数。

这就是数学家需要证明的原因。