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B样条神经网络作为一种基于样条函数插值原理而设计的神经网络，其输入空间定义在 n 维网格上，网格结构的每个元胞均定义了基函数。基函数可以通过局部学习和训练来改变其对应的位置，即改变其中一部分输入空间几乎不改变其他的输入响应。输入轴被分为许多区间，其节点为地址位置。因此，每个输入轴的节点向量包含整个区间被节点分成的子区间值，而这些节点可以根据实际需要设计。
B样条神经网络建模的性能同其基函数的阶次密切相关，阶次不仅决定了B样条的阶次可微性，而且决定了B样条函数的宽度和区间。例如，一个阶次为 k 且可微的B样条基函数宽度可分为 k 个子区间，每个输入子区间都被映射到 k 个非零B样条基函数。随着阶次的增加，函数越来越光滑。因此，B样条基函数可按照如下的递推式得到：
（2.1）
(2.2）
显然，对于任意 l ≥1，B样条基函数满足
（2.3）
式（2.3）描述了B样条基函数在有效区间的性质及对应的有效区间的宽度。当 l ≥3时，基函数在区间(− ∞ , ∞ )内为一个光滑的函数。在大多数情况下，一般采用三阶B样条神经网络，三阶B样条基函数可以描述为
（2.4）
式中， h j = λ j − λ j −1 （ j = i , i +1, i +2）。任意定义的连续函数都可以用B样条神经网络来逼近，因此，本书讨论的随机系统也可以用B样条神经网络来解耦控制输入变量和输出PDF之间的关系。根据B样条基函数的逼近方式的不同，已经形成了不同的B样条模型。下面将基于B样条模型建模机理来说明随机分布系统的建模机理。
记 v ( t )∈R 1 为一个定义在 T =[0,+ ∞ )上的一致有界的随机变量，即
（2.5）
并假定 v ( t )表示随机分布系统的输出。假设 u ( t )∈R m 为控制随机变量 v ( t )的分布形状的输入向量，则考虑随机系统可以表示为
（2.6）
在任意时刻，随机变量 v ( t )分布可以用它的累计概率分布函数 F ( y , u ( t ))来表述：
（2.7）
式中， P ( v ( t )< y | u ( t ))表示在控制输入 u ( t )作用下随机变量 v ( t )小于 y 的概率。假定累计概率分布函数 F ( y , u ( t ))是关于 y 的连续函数，则由概率论的相关知识可得到对应的PDF，记为 γ ( y , u ( t ))，即
（2.8）
故可以得出随机变量PDF形状由控制输入 u ( t )决定。此时，假定随机变量的PDF为关于控制输入 u ( t )和 y 的连续函数，且随机变量 v ( t )一致有界，故存在一个已知的区间[ a , b ]，使得
（2.9）
成立。对于任意给定的控制输入 u ( t )及所有的 y ∈[ a , b ]， γ ( y , u ( t ))为 y 的连续函数，由B样条神经网络的理论可知 [ 3] ，存在一个神经网络使得如下不等式成立：
（2.10）
式中， ε 为一个任意小的正常数； B i ( y )（ i =1,2,⋯, n ）为先前在区间[ a , b ]上确定的B样条基函数； w i 为基函数相对应的权值。可以看出，当所有的基函数固定时，不同的控制输入 u ( t )可以产生不同的权值向量，这表明权值 w i 是控制输入 u ( t )的函数。因此，式（2.10）可以进一步表示为
（2.11）
式中， e 为输出随机变量PDF的逼近误差，且‖ e ‖≤ δ 。由此可见，通过基函数建立了控制输入 u ( t )和输出PDF之间的关系，输出PDF形状的变化可以被认为是由其对应的权值 w i 变化引起的，因此，进一步综合控制输入 u ( t )和权值 w i 之间的动态模型，便可获得描述随机分布系统动态的输出PDF模型。