曲线的几大类别及应用

中债登提供的每日债券收益率曲线，一般会提供到期收益率曲线、即期收益率曲线和远期收益率曲线。这几种曲线到底是什么意思？有什么区别？分别可以用来做什么？

到期收益率曲线

到期收益率曲线是最常用的收益率曲线。前面章节所讨论的，也都默认是到期收益率曲线。顾名思义，到期收益率曲线就是把各期限债券的到期收益率计算出来，构成“期限-到期收益率”的二维数据和二维曲线。

第一个问题：每个期限的收益率到底用哪一只债券？以国债为例，剩余期限5年期的国债有好多只，有的是新发行的5年期国债，有的是更长原始期限的国债而剩余期限在5年左右，到底该选哪只债券的到期收益率作为基准呢？

这就涉及样本券（on-the-run bond，一般都是新近发行的债券）的选择。首先确定需要采集哪些关键期限点（标准期限），如1、3、5、7、10年等关键点。然后在每个关键点上，找出该剩余期限附近最活跃的债券作为样本券，以此样本券的到期收益率作为这个期限上的收益率基准。

以国债为例，中债登公布的关键点（标准期限）如表3-2所示。

比如2018年2月2日的国债收益率曲线的部分样本券（节选）如表3-3所示。

第二个问题：非关键点上的到期收益率如何确定？或者说，已经在“期限-到期收益率”的坐标轴上有一系列的关键点数据了，如何将这些散点连成一条曲线？这中间所使用的方法叫插值法。目前，中债登的估值数据采用单调三次Hermite多项式插值，而中证登估值采用三次样条插值。三次样条插值法会使得曲线更为平滑，类似于轧钢板，而Hermite插值法更多考虑实际的利率水平，不去特意光滑曲线。因此，同一天的收益率曲线，你会发现中证的收益率曲线会比中债的更为光滑，而中债收益率曲线锯齿感更强一点（见图3-3）。

即期收益率曲线

到期收益率曲线是最常用的收益率曲线，我们平常所提到的也指的是到期收益率曲线。不过，到期收益率曲线蕴含了很重要的一个假设。

例3-1 到期收益率的假设条件

假设国债到期收益率曲线上5年期的利率为3.85%，意即5年期国债的到期收益率基准为3.85%。此5年期债券每年付息，现金流如图3-4所示。

这里假设所有的未来现金流都按照到期收益率3.85%进行贴现，从而得到现值（PV）。但这个假设未必合理，因为每笔现金流的期限不一样，而对应的贴现率理应也不一样。■

即期收益率就是为了解决这个问题而提出的。即期收益率曲线上每个点的利率，都是期间没有现金流下的利率，因此可以用它来直接进行贴现率的计算。

例3-2 利用即期收益率进行贴现

假设在2018年2月2日，国债即期收益率曲线上5年期的利率为3.8879%。某只国债的一笔现金流的剩余期限刚好为5年，金额为100000元，则其现值（PV）为：

如果需要对某只国债进行估值，可以对其所有的现金流，找到即期收益率曲线上对应的即期利率，然后使用该贴现率，计算每一笔现金流的现值；其所有现金流的现值之和即为该只债券的估值。用公式表示如下：

式中 P ——债券的估值价格（全价）；

cash flow _i ——第 i 笔现金流金额；

y _i ——第 i 笔现金流在即期收益率曲线上对应的利率；

t _i ——第 i 笔现金流的剩余期限。■

即期收益率曲线和到期收益率曲线最大的区别在于：到期收益率曲线假设期间所有不同期限的现金流的贴现率是相等的，而即期收益率则认为不同期限的现金流应该使用不同的贴现率，以反映真实的利率期限结构（见图3-5）。

因此，即期收益率曲线，更多是用于债券的定价估值及模型设计，前台交易人员一般用得较少。

那么问题来了，即期收益率曲线该如何得出呢？我们可以通过到期收益率曲线推导即期收益率曲线，使用的方法就是著名的拔靴法（bootstrapping）。

例3-3 使用拔靴法通过到期收益率曲线推导即期收益率曲线

（为了便于理解，笔者对例子做了简化。）

假设已有国债到期收益率曲线，其中1年期到期收益率为3.5%，2年期到期收益率为3.7%。现假设左右的相关国债都是按年付息的固定利率。由于1年期的期间没有任何现金流，因此1年期的即期收益率等于1年期到期收益率。

1年期即期收益率 y ₁ =3.5%

设2年期即期收益率 y ₂ 。2年期到期收益率为3.7%，其现金流为：

得出： y ₂ =3.7037%

有了 y ₁ ， y ₂ ，就可以继续求解 y ₃ ， y ₄ ，…，这就是所谓的拔靴法。■

远期收益率曲线

远期收益率曲线是从即期收益率曲线或到期收益率曲线中推导出隐含远期利率，再画出“期限-远期利率”的曲线图形。远期收益率不是市场直接成交或者观察到的，是通过市场利率推导出来的隐含利率。

远期利率的本质就等同于以下问题：1年后的2年期远期收益率是多少？这个问题的答案可以通过即期收益率曲线推导得出。

例3-4 通过即期收益率曲线推导远期收益率曲线

假设通过国债即期收益率曲线：

1年期即期收益率 y ₁ =3.40%

3年期即期收益率 y ₃ =3.70%

1年后的2年期远期收益率为 ₁ y ₂ ，则有：

（1+ y ₁ ）×（1+ ₁ y ₂ ） ² =（1+ y ₃ ） ³

（1+3.40%）×（1+ ₁ y ₂ ） ² =（1+3.70%） ³

得出： ₁ y ₂ =3.85%

（注： ₁ y ₂ 的左下角标指的是1年之后的远期利率，右下角标指的是2年期的利率。）

通过这种方法，可以计算出1年后的所有期限的远期利率，从而得出1年后的远期收益率曲线。图3-6是中债登公布的2018年5月29日国债1年之后的远期的到期收益率曲线（1年之后，国债的到期收益率曲线是什么样子）。

中债登每日公布远期的即期收益率曲线（通过即期收益率推导）和远期的到期收益率曲线（通过到期收益率推导）。

小结

三类（到期、即期、远期）收益率曲线各有各的用处，各有各的假设前提，该如何记忆呢？表3-4是速记表。